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1.1对于体积V内N个电子的自由电子气体,证明
(1)电子气体的压强 SKIPIF 1 0 ,其中 SKIPIF 1 0 为电子气体的基态能量。
(2)体弹性模量 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0
解:(1)
SKIPIF 1 0 (1.1.1)
SKIPIF 1 0 (1.1.2)
(2)
SKIPIF 1 0 (1.1.3)
1.2 SKIPIF 1 0 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近,液体 SKIPIF 1 0 的密度为0.081g?cm-3。计算费米能量 SKIPIF 1 0 和费米温度 SKIPIF 1 0 。 SKIPIF 1 0 原子的质量为 SKIPIF 1 0 。
解:把 SKIPIF 1 0 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.
SKIPIF 1 0 (1.2.1)
SKIPIF 1 0 (1.2.2)
SKIPIF 1 0 (1.2.3)
SKIPIF 1 0 (1.2.4)
1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为 SKIPIF 1 0 ,在自由电子气体模型下估算钾的费米温度 SKIPIF 1 0 及费米面上的态密度 SKIPIF 1 0 。
解: SKIPIF 1 0 (1.3.1)
SKIPIF 1 0 (1.3.2)
SKIPIF 1 0 (1.3.3)
1.4铜的密度为 SKIPIF 1 0 。室温下的电阻率为 SKIPIF 1 0 。计算
(1)导电电子浓度;
(2)驰豫时间;
(3)费米能量 SKIPIF 1 0 ,费米速度 SKIPIF 1 0 ;
(4)费米面上电子的平均自由程 SKIPIF 1 0 。
(5)等离子体的振荡频率?p.
解:
(1) SKIPIF 1 0 (1.4.1)
(2)
SKIPIF 1 0 (1.4.2)
(3) SKIPIF 1 0 (1.4.3)
SKIPIF 1 0 (1.4.4)
SKIPIF 1 0 (1.4.5)
(4) SKIPIF 1 0 (1.4.6)
(5)等离子体的振荡频率 SKIPIF 1 0 .
1.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体,电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。证明在这一位移下系统是稳定的,并给出这一小振动问题的特征频率。
解:(仅供参考)
SKIPIF 1 0 (1.5.1)
SKIPIF 1 0
偶极矩强度为:
SKIPIF 1 0 (1.5.2)
取近似,忽略 SKIPIF 1 0 的2阶以上无穷小量
SKIPIF 1 0 (1.5.3)
电极化强度为
SKIPIF 1 0 (1.5.4)
位移电子受到的电场为
SKIPIF 1 0 (1.5.5)
在此电场下,电子受力指向平衡位置,大小正比于位移。所以,电子在平衡位置作微小振动。
特征频率为
SKIPIF 1 0 (1.5.6)
1.6在什么波长下,对于电磁波辐照,金属Al是透明的?
解:金属的等离子体的振荡频率为
当 SKIPIF 1 0 时,金属是透明的。
SKIPIF 1 0 (1.6.1)
SKIPIF 1 0 (1.6.2)
SKIPIF 1 0 (1.6.3)
SKIPIF 1 0 (1.6.4)
波长小于78.5nm时,金属Al是透明的。
1.7对于自由电子气体,证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化,即横向磁阻为零。
解:
SKIPIF 1 0 时 (1.7.1)
SKIPIF 1 0 (1.7.2)
分量式
SKIPIF 1 0 (1.7.3)
SKIPIF 1 0 (1.7.4)
SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (1.7.5)
从上
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