第三讲-函数的单调性、奇偶性经典难题复习巩固.doc

PAGE 12 DSE金牌化学专题系列 精典专题系列第3讲 函数的性质 DSE金牌化学专题系列 导入：《老人与黑人小孩子》 一天，几个白人小孩在公园里玩。这时，一位卖氢气球的老人推着货车进了公园。白人小孩一窝蜂地跑了上去，每人买了一个气球，兴高采烈地追逐着放飞的气球跑开了。白人小孩的身影消失后，一个黑人小孩怯生生地走到老人的货车旁，用略带恳求的语气问道： “您能卖给我一个气球吗?”“当然可以，”老人慈祥地打量了他一下，温和地说，“你想要什么颜色的?”他鼓起勇气说：“我要一个黑色的。”脸上写满沧桑的老人惊诧地看了看这个黑人小孩，随即递给他一个黑色的气球。 他开心地接过气球，小手一松，气球在微风中冉冉升起。老人一边看着上升的气球，一边用手轻轻地拍了拍他的后脑勺，说：“记住，气球能不能升起，不是因为它的颜色，而是因为气球内充满了氢气。” 大道理：成就与出身无关，与信心有关。这个世界是用自信心创造出来的。有自信，积极的面对自己所拥有的一切，这种积极和自信会帮助人登上成功的山顶。 二、知识点回顾： 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1x2时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 (2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 或 ，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，存在实数M满足 条 件 ①对于任意x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 . ①对于任意x∈I，都有 ；②存在x0∈I，使得 . 结论 M为最大值 M为最小值 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数 关于 对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数 关于 对称 2．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的 周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期． 三、专题训练： 专题一 函数单调性的判断与证明 已知函数f(x)＝eq \f(x－2,x＋1)，证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． [自主解答]　法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1x2，则x2－x10， 又∵x1＋10，x2＋10， ∴eq \f(x2－2,x2＋1)－eq \f(x1－2,x1＋1)＝eq \f(?x2－2??x1＋1?－?x1－2??x2＋1?,?x1＋1??x2＋1?) ＝eq \f(3?x2－x1?,?x1＋1??x2＋1?)0， 于是f(x2)－f(x1)＝eq \f(x2－2,x2＋1)－eq \f(x1－2,x1＋1)0， 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 变式训练：判断函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a0，x0)的单调性． 解：法一：函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a0)的定义域为{x|x0}． 设x1x20，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq \f(a,x1)－x2－eq \f(a,x2) ＝(x1－x2)(1－eq \f(a,x1x2))＝(x1－x2)eq \f(x1x2－a,x1x2)， ∵当0x2x1≤eq \r(a)时，恒有x1x2a. 则f(x1)－f(x2)0， 故f(x)在(0，eq \r(a))上是减函数． 当x1x2≥eq \r(a)时，恒有x1x2a， 则f(x1)－f(x2)0，故f(x)在[eq \r(a)，＋∞]上是增函数． 综上所述，函数f(x)在(0，eq \r(a)]上是减函数， 在[eq \r(a)，＋∞)上是增函数． 专题二 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间． (1)y＝－x2＋2|x|＋3； [自主解答]