河北省2019年中考数学一轮复习第六章圆第三节与切线有关的证明与计算课件.pptVIP

第六章 圆 第三节　与切线有关的证明与计算 考点 与切线有关的证明与计算 命题角度?　切线的性质 例1 (2017·河北节选)如图，点O是线段AB的中点，点C是 OB上一点，将线段OC绕点O逆时针旋转270°得到优弧CD. 过点A，B作优弧CD的切线，切点分别为P，Q.求证AP＝BQ. 【分析】 要证AP＝BQ，观察图形知需证△AOP≌△BOQ，由已知O是AB的中点可得到OA＝OB，再由圆半径相等得到OP＝OQ，而AP，BQ均是⊙O的切线，得到∠APO＝∠BQO＝90°，即可得证． 【自主解答】 证明：连接OQ，如解图， ∵AP，BQ均与优弧CD相切， ∴∠APO＝∠BQO＝90°， ∵O是AB的中点，∴AO＝BO， ∵OP＝OQ， ∴Rt△AOP≌Rt△BOQ(HL)， ∴AP＝BQ. (2018·陕西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边 AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N. (1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB； (2)连接MD，求证：MD＝NB. 证明： (1)如解图，连接ON，则OC＝ON. ∴∠DCB＝∠ONC. ∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点， ∴CD＝DB，∴∠DCB＝∠B. ∴∠ONC＝∠B. ∴ON∥AB.∵NE是⊙O的切线， ∴NE⊥ON，∴NE⊥AB. (2)如解图，连接ND，则∠CND＝∠CMD＝90°， ∵∠ACB＝90°，∴四边形CMDN是矩形．∴MD＝CN. 由(1)知，CD＝BD.∴CN＝NB. ∴MD＝NB. 命题角度?　切线的判定 【百变解读】切线证明的常见模型有三种：①弦切角模型； ②平行线＋角平分线模型；③双切线模型．本题以平行 线＋角平分线模型为背景，在此基础上进行演变，可变式 成弦切角模型、双切线模型，旨在通过一个题目的变形， 掌握切线判定的方法． 百变例题7 (2018·聊城)如图，在Rt△ABC中， ∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆． (1)求证AC是⊙O的切线； (2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长． 【分析】 (1)要证明AC是⊙O的切线，由题意知BE平分 ∠ABC，BC⊥AC，从而可考虑运用“角平分线＋平行” 模型，连接OE，证明OE∥BC即可；而OE＝OB得到∠OEB＝∠OBE，BE平分∠OBC得∠OBE＝∠CBE，即可得到∠OEB＝∠CBE，从而得证； (2)已知BE的长及⊙O的半径，从而可求BD的长，而由角度 相等易得△BDE∽△BEC，从而利用相似比例可求BC；要求 AD，由题意AB＝AD＋BD，而BD已知，再结合OE∥BC，可考 虑运用“A”字形相似得到△AOE∽△ABC，列比例式可求 AB，即可得解． 【百变例题7】 (1)证明：如解图，连接OE， ∵BE平分∠OBC，∴∠OBE＝∠CBE， ∵OE＝OB，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC， ∵BC⊥AC，∴OE⊥AC， ∵OE是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． (2)解：∵∠DEB＝90°，⊙O是△DEB的外接圆， ∴BD是⊙O的直径．∴BD＝2BO＝5. ∵∠C＝∠BED＝90°，∠CBE＝∠EBD， ∴△BCE∽△BED， ∴ ，即 ，解得BC＝ . ∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC， ∴ ，即 ,解得AD＝ . 变式一：弦切角模型 如图，BC是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点A在BC的延长 线上，连接CD，BD，且∠ADC＝∠DBC. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若∠A＝30°，AC＝2，求BD的长． (1)证明：如解图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD， ∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°， 即∠CDO＋∠ODB＝90°，∴∠CDO＋∠OBD＝90°， ∵∠ADC＝∠DBC， ∴∠ADC＋∠CDO＝90°， 即OD⊥AD， ∵OD是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线． (2)解：∵∠A＝30°，∠ADO＝90°， ∴AO＝2OD＝AC＋OC，∠COD＝60°， ∵OC＝OD，∴AC＝OD＝2， ∵∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°， ∵BC＝2DO＝4， ∴BD＝2 . 变式二：双切线模型 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC交AC于 点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．已知 OB＝2，BE＝2 ，点F是AC延长线上一点，连接BF，若BF 与⊙O相切，求BF的长． 解：∵在Rt△BDE中，BD＝2BO＝4，BE＝2 ， ∴∠EDO＝60°， ∵OD＝OE，∴△DOE是等边