经济应用数学2221导数的四则运算法则例21设.PPTVIP

上页 下页 铃 结束 返回 首页 经济应用数学 * 第2章 导数与微分 02 2.2 求导方法 导数的四则运算法则 复合函数的求导法则 隐函数的导数 高阶导数 分段函数的导数 2.2.1 导数的四则运算法则 例2.1 设 ，求 解 1. 可以推广到有限个 例2.2 ，求 解 证明 例2.3 证明 例 对吗？ 解法(2)： 2.2.2 复合函数求导法则（亦称链式法则） 即 复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数 . 注：复合函数求导法则的关键在于： （2）分别求出这些函数的导数并相乘； （3） 将所设中间变量还原。 （1）将复合函数分解成若干个基本初等函数； 例2.4 解 例2.5 设函数 ，求 解　函数 是由 和 复合而成， ． 因此 例2.6 解 复合而成. 例2.7 若函数 处处可导,求 的导数. 解 由 , 注意: 记号 表示对中间变量 求导数,而记号 表示对自变量 求导数. 例２.８ 证明幂函数的导数公式： 证明 当 时，将函数 改写为 所以　　 当 时，将函数 改写为 也可以得到 所以，对任意 ， 都有　　 ． 2.2.3 隐函数的导数 显函数: y=f(x) 隐函数: F(x,y)=0 1. 定义 由二元方程F(x,y)=0所确定的y与x的函数关系 称为隐函数，其中因变量不一定能用自变量x直接表示出来. 如 2. 求导法则 （1）将 F(x,y)=0两端对x求导，在求导过程中视y为x的 函数 ,然后利用复合函数求导法则进行求导。 （2）求导之后得到一个关于y′的方程，解此方程则得 y′的表达式，在此表达式中允许含有y. 方程两边分别对 x 求导数, 并且注意 y 是 x的函数. 解 得到 例2.9 求由方程 确定的函数 的导数 . 解出 ，得 求 例2.10 已知函数 由方程 确定， 解 方程两边同时关于 求导，得 于是 又因为 时， 即 所以　 ． *对数求导法 先在y= f (x)的两边取对数, 求导后再求y的导数. 例2.11 （幂指函数） 两边分别对 x 求导, 注意 y 是 x 的函数，得 两边取对数 ，得 解 幂指函数的一般形式为： 如果 u, v 都可导, 则 y 的导数求法如下: 再两边对x求导, 注意到 y 是 x 的函数, 得 两边取对数，得 (1)也可表示为： 直接得 例2.12 上式两边分别对 x 求导, 注意 y 是 x 的函数, 得 两边取对数，得 解 2.2.4 高阶导数 引例 变速直线运动的速度 是路程函数 的导数, 即 又是速度 ,而另一方面,加速度 相对于时间 的变化律,即 我们将导数 的导数 称为 的二阶导数. 即 一、高阶导数的定义 高阶导数 注： 1.四阶或四阶以上的导数记作 2.函数 在点 处的各阶导数就是其各阶导函数 在点 处的函数值,即: 二、高阶导数求法举例 例2.13 求下列函数的二阶导数． （1） （2） 解 （1） （2）