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罗素类型论的研究 　　摘要：类型论是罗素为解决逻辑悖论而构造的一个重要理论，它以恶性循环原则为前提，其核心思想是不把类当实体看，其总体思想是任一函项必定属于一定的类型和阶。类型论提供了一种对悖论的统一的解决办法，其排除悖论的实质是把引起悖论的表达式归于“无意义”。类型论本身并不完善，引来了争论，争论的焦点首先是可化归性公理，其次是恶性循环原则，引起争论的实质是在类的实在性问题上实在论和唯名论的对立。类型论尽管在总体上不那么令人满意，但它给逻辑和哲学都带来了重大的影响，这种影响是积极的。 　　关键词：罗素；类型论；类 　　中图分类号：B561.54　文献标识码：A　文章编号：1007―905x(2005)02―0048―04 　　 　　类型论是罗素为解决逻辑悖论而构造出的一个极其重要的理论。有评论家说，它和罗素著名的摹状词理论一起对分析哲学的发展起到了强劲的推动作用。与摹状词理论相比，类型论还不够成熟，也没有获得“哲学的典范”那样高的哲学地位，但它解决的问题、引起的问题，以及它蕴涵的哲学意义，到今天仍值得我们深深地反思和深入地探究。类型论的技术性强，内容艰深复杂，本文试图在阐释它主要内容的基础上来展开对它的分析与评价。 　　 　　一、缘起与建构 　　 　　康托尔集合论有一个用来说明“集合”的概括原则，该原则说：任一性质均可定义一个集合，集合的元素恰好具有该性质。概括原则可以用符号表示为s={x|P(x)}，它等价于vx(x∈s―P(x))，该式的一个意思是“任意对象均可作为集合的元素”。任一集合由于都可以看做对象，因而都可以考虑其是否属于自身(或是否是自身的一个元素)的问题，因此，根据概括原则，就可以从性质“不属于自身”出发去构造一个新的集合s，它是由所有那些不属于自身的集合构成的，即s={x|x∈x}(其中x是集合)。由此可以构造出命题vx(x∈s―x∈x)，再由此根据逻辑规则立即得出：S∈S―S∈S。这就是“罗素悖论”。 　　“罗素悖论”产生了巨大的震撼力，它表明作为数学基础的集合论是不一致的，让整个数学大厦为之动摇，如何去解决它就成了摆在当时数学家们面前的一个十分紧要的问题。类型论就是罗素经过长期探索而构造出的一个解悖方案。 　　 　　(一)从简单类型论到分支类型论 　　类型论有两种形态：一是《数学的原理》中的简单形态，二是《数学原理》中的分支形态，它们有联系也有差别。 　　罗素1903年在《数学的原理》中提出了一个解决悖论的初步方案，这个方案后来被称为简单类型论。罗素在这里指出，解决这类悖论的关键在于区分不同的逻辑类型。以此作为指导思想，罗素首先给出了类型的定义：“类型”即“命题函项的意义域”。据此，罗素区分了个体、个体的类、个体的类的类等不同层次的类型，指出一个类和它的元素属于不同的类型。罗素还提出了一个原则：“如果一个命题函项中x要有意义，其中的x应该要限于某一个类型。”这样，根据类型的划分和这个原则就可以断定“x∈x”是无意义的，这就排除了“罗素悖论”。简单类型论虽然可以解决一些悖论，但罗素发现，还有一些悖论它解决不了，譬如一些与说谎者悖论类似的语义悖论。这些悖论影响到了推理的基础，需要更进一步的解决方案。 　　1906年，罗素在《论超穷数理论和序数理论的某些困难》一文中提出了解决悖论的三种方案：(1)“之字形理论”，这是一种内涵理论，它要求依赖命题函项的内容来确定类的存在性；(2)“限制大小的理论”，这是一种外延理论，它主张依据命题函项外延的大小(要求“不太大”)来判定相应的类的存在性；(3)“无类理论”，该理论要点是不把类看做实体，而是看做逻辑的假定，是说话时的方便。罗素后来在解决悖论的过程中没有采用前两种方案，而走了“无类论”的路线，其结果就是“分支类型论”的产生。 　　“分支类型论”的最终提出与罗素对“恶性循环原则”(实际上是禁止恶性循环的原则)的采纳有关。这条原则最早由数学家彭加勒(H．Poincaré)在1906年根据理查德(J．Richard)的思想提出来，后来被罗素明确化、具体化了。理查德在1905年提出了“理查德悖论”。该悖论是关于定义可数性的悖论，它涉及了康托尔的对角线方法，其构造大致是这样的：考虑所有的可以通过有限多个词定义的十进位小数，并令E是这些小数的集合。那么E是一个可数集，其元素可以按照第一个、第二个、第三个……这样的顺序排列。令N是下列定义的数字：如果在E中的第n个小数中的第n位数字是p，则令N中的第n位数字是p+1(或0，如果p=9)。这样，N就不同于E中的任一元素，即N不是E的元素。但是，我们已经用有限多个词定义了N。因此，N应当是E的元素。这样，N既是又不是E的元素。理查德在发现他的悖论的同时进一步指出，实际上矛盾是不存在的，因为一个集合不能包