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长江大学学报(自然科学版) 2008年3月第5卷第1砚理工 ·28· of Sci Mar．2008．V01．5No．1：sciEng JournalYangtzeUniversity(NatEdit) 两个新的正整数分拆恒等式 毕晓芳。燕子宗，赵天玉 (长江大学信息与数学学院。湖北荆州434023) [摘要]正整数的分拆与许多计数问题有着密切的关系．并且关于正整数的分拆产生了许多重要的恒等 武，但很多正整数的分拆恒等式常以有序分拆或无序分拆单方面讨论。将正整数的有序分拆和无序分拆 联系起来．给出了两个新的与正整数的有序分拆和无序分拆相关的恒等式，并利用组合方法给出了证明。 [关键词]正整数，分拆恒等式I有序分拆I无序分拆；Ferrers图 [中图分类号]0122．4 [文献标识码]A [文章编号]1673—1409(2008J Ol—N028—02 分拆问题叫是组合论的重要内容之一，正整数的分拆与许多计数问题都有着密切的关系，其中正整 等人给出了一些著名的恒等式[2]，但很多恒等式都是针对有序分拆或无序分拆单方面来讨论的，很少涉 及将有序和无序分拆联系起来得到的恒等式。但是，在2003年Agarwal就发现了一个与有序分拆和无 序分拆相关的恒等式[3]，在文献I-2-1中也提出了另外一些恒等式。笔者在此基础上提出了两个新的与 正整数的有序分拆和无序分拆相关的恒等式，并利用组合方法给出了证明。 1基本概念 定义it23正整数n的一个“奇”无序分拆是指其分部量为互不相同的奇数的无序分拆。 定义2t。3正整数n的一个“偶”无序分拆是指其分部量为互不相同的偶数的无序分拆。 定义3 正整数以的“奇一偶”无序分拆是指在n的分拆中分部量分别以奇数和偶数交替出现，且 最小分部量是偶数的无序分拆。 2主要结论 分拆数：第1部分是分部量为偶数的有序分拆，第2部分是1个奇数；9(P，O，咒)表示将正整数凡分拆 成2部分之和的分拆数：第1部分是恰含m一1个偶数的有序分拆，第2部分是1个奇数。Q表示恰含 2个以上分部量且最大分部量为7的“奇”无序分拆数；四表示恰含m个分部量且最大分部量为咒的 “奇无序分拆数。则： C“(P，O，咒)=研C(P，0，以)=0玎 证明设，r是一个恰含m个分部量且最大分部量为，l的 “奇”无序分拆，作出该分拆的Ferrers图，如图1。在图中 ● ● I…．．●● ● ● ● 作轴线X轴和y轴，其中X轴在距离最后一行的一个单位 ● ● -…．．●● 处．y轴在距离第l列的一个单位处I然后从每一行的最后 一个点处分别作y轴的平行线，从右往左分别记第i条平行 线为Z，(f=1，2’．．·，仇)．y轴记为Z斛¨再确定这些平行线 ●：．-．● 中每一条距前一条的距离(Y轴也考虑)，其中记z。到z斗。 的距离为鳓(f一1，2’．．·，7，1)。由于7r是一个“奇”无序分拆，所P一■m——_． ●‘一”·‘。。_． x 以鳓(f一1，2，…，，，l—1)为偶数，越。为奇数，且Ul+U2+ f册 J2 1l …口--。+“．=7。因此这些距离就使得正整数以分拆成2部 分之和，第l部分为m—1个偶数的有序分拆，即H。+Hz+ [收稿日期】2007—12—23 [基金项目】田家自然科学基金项目。 【作者简介】毕晓芳(Z982一)。女。2004年大学毕业。硕士生．现主要从事最优化理论与算法及组合数学方面的研究工作。 万方数据 第5卷第1期：理工 毕晓芳等：两个新的正整数分拆恒等式 ·29· ：c“(P，o，挖)，a一：0：，故C(e，0，以)一q。所以定理1成立。 2乏=：：=一 2毒乏。 十1，9+7+3，9+5+3，9+7+5，即06=C3(P，0，0)=6。 将9分拆成2部分之和的分拆(第1部分是分部量为偶数的有序分拆，第2部分是1个奇数)有15 7+5+3+1，即0b=C(e，0，9)=15。 定理2 数：第1部分是分部量为奇数的有序分拆