整边梯形的计数公式.pdfVIP

第23卷第4期 甘肃联舍大学学报(自然科学版) V01．23No．4 ofGansuLianhe Sciences) 2009年7月 Journal University(Natural Jul．2009 文章编号：1672-691X(2009)04-0036—04 整边梯形的计数公式 邢林燕1’2 (1．揭阳职业技术学院，广东揭阳522000；z．华南师范大学数学科学学院，广东广州510631) 摘要：讨论了整边梯形的性质和构造，给出四个正整数是某个整边梯形的四边之长的一个充要条件．从而将 整边梯形的问题转化为整边三角形的问题，然后借助整边三角形的计数公式给出周长为n的整边梯形的计数 公式．最后，我们利用分拆的Ferrers图将一类整边梯形与不定方程4工。+3勋+2x，=打联系起来． 关键词：分拆I整边梯形；计数公式 中图分类号：0156 文献标识码：A O 引言 数．。‘‘，z’：表示周长为，l的整边等腰梯形的个 正整数的分拆是指将正整数按某些条件分成 B。(n)：表示周长为n的整边等边三角形的 若干个正整数的无序和，它是组合数学和数论中 个数． 一个非常活跃的数学分支，具有重要的实际应用 z：表示距离z最近的整数． 意义．本文所研究的整边梯形的计数公式正是正 z L J：表示不超过z的最大整数． 整数分拆理论在现实生活中的应用． 1 主要结论 定义1梯形是指一组对边平行而另一组对 边不平行的四边形．平行的两边叫做梯形的底边， 定理1设口，6，f，d是正整数，且满足0口 其中短边叫上底，长边叫下底；不平行的两边叫梯 6，0c≤d，则a，6，c和d分别是某一梯形的 形的腰；将上底、下底及两腰之长对应相等的梯形 上底之长，下底之长，两腰之长的充要条件是a+ 视为同一梯形． c+d6且d—cb—a． 近年来不少数学工作者着力于整数分拆与几 证明 必要性在某一整边梯形ABCD中，记 何结合产生的关于整边多边形问题的研究．文[1 ～4]就是通过对正整数的三分拆的研究而产生的 整数，且满足0口6，0c≤矗)．如图1所示。 很好的有关整边三角形方面的结果．对于边数大 一 疗 于3的整边多边形，由于其不稳定性，所以研究工 作较难展开，目前国内涉及的文献比较少[s~6]．在 本章中，我们先论述并证明四个正整数是某个整 边梯形的四边之长的一个充要条件，然后将整边 D 6 E C 梯形的问题转化为整边三角形的问题，从而借助 图1整边梯形ABCD围 整边三角形的计数公式给出周长为n的整边梯形 过点B作AD的平行线交CD于点E，则BE =AD=c．由图1知，若正整数a，b，c和d分别是 的计数公式．最后，我们还利用分拆的Ferrers图 某一梯形的上底之长，下底之长及两腰之长，则正 将一类整边梯形与不定方程4z，+322+2z。=，l 联系起来．下面定义本文的相关符号： 整数6一口，c和d必是某一三角形的三边之长．由 T3(，1)：表示周长为恕的整边三角形的个数． 于三角形的三边之长须满足任两边之和大于第三 T‘(