第九讲 广义积分.docVIP

第九讲 反常积分（广义积分） 一、反常积分的计算——主要是Newton-Leibniz公式，换元法 例1 计算。 解：令，则 。 若，则显然。当时，令，则 。 令，则 ， 因此 。 从而。 □ 例2 计算。 解：令，则。令，则 。因此。于是 。 再令，则 ， 因此 。 □ 例3 计算。 解：令，则 ， 从而 。 例4 计算。 解：利用分部积分法有 。 记，则当时 。 又显然，因此，从而有 。 例5 求。 解：当时， 。 于是，由得且它为极大值点，从而 。 □ 例6 证明 ， 其中且积分有意义。 证明：令，则，又 ， 因此可设。从而有 ，当； ，当。 从而（注意上、下限变化） 。 □ 例7 计算。 解：因为时 ， 而 （注意积分收敛） 因此 。 若，则 ， 从而有 。 最后我们有 。 它也满足上面的公式。即 。 □ 二、反常积分的收敛性判别法 1．比较判别法与Cauchy判别法（与-积分比较）——阶的估计 例8 设且，，证明：积分收敛。 证明：令。由，存在，当时 ， 因此由和收敛知收敛。 □ 2．时考虑的有界性。 例9 设在上恒正，在任意有限区间上可积，又存在，使得 对任意成立。证明收敛。 证明：考虑的有界性，令，取，则 ， 因此收敛。 □ 3．利用分部积分再判定收敛性。 例10 判定的收敛性。 解：有分部积分法有 。 而当时，因此积分收敛，从而收敛。 注意到 ， 因此为正常积分。综合起来知原积分收敛。 □ 另法：利用收敛，以及 也能得到结论。而且此法可以推广。 例11 判定积分的收敛性（）。 解：利用Dirichlet判别法知对都收敛，而 。 又由Dirichlet判别法知收敛，因此原积分收敛等价于积分 收敛。注意此积分函数的分母在无穷远的阶为，因此仅当时收敛。 综合起来，原积分收敛当且仅当。 □ 至于分部积分法