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立体几何空间计算 适用学科 高中数学 适用年级 高中三年级 适用区域 通用 课时时长（分钟） 120 知识点 立体几何空间计算 教学目标 1.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. 2.学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，用联系的观点看待事物． 教学重点 空间向量的加减与数乘运算及运算律. 教学难点 应用向量解决立体几何问题. 教学过程 新课导入 我们已经学习了平面向量的内容，本节课就把平面向量及其线性运算推广到空间向量，并运用空间向量解决立体几何问题. 三、知识讲解 考点1 空间向量基本知识点及运算 1.向量的直角坐标运算 设＝，＝则 (1) ＋＝； (2) －＝； (3)λ＝ (λ∈R)； (4) ·＝； 2.设A，B，则 = . 3、设，，则 ； . 4.夹角公式 ： 设＝，＝，则. 5．异面直线所成角： =. 6．平面外一点到平面的距离： 已知为平面的一条斜线，为平面的一个法 向量，到平面的距离为：. 7．线线夹角（共面与异面）两线的方向向量的夹角或夹角的补角，. 8．线面夹角：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.. 9．面面夹角（二面角）：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. . 四、例题精析 考点1 空间几何体的结构 例1 如图，在底面为直角梯形的四棱锥中,平面，. ⑴求证：； ⑵求直线与平面所成的角； ⑶设点在棱上，，若∥平面，求的值. 【规范解答】 如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系. （1）设，则， ∵，∴.　　　　　　　　　　　　　 　 （2）由（1）知. 由条件知A（1，0，0），B（1，，0）， . 设， 则. 即直线为.　　 （3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则 ，，，， 而，所以， =. 设为平面PAB的法向量，则，即，即. 进而得， 由, 得 ∴ 　.　　　　　 【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解. 例2 如图，棱柱的所有棱长都等于，，平面平面. ⑴证明：； ⑵求二面角的余弦值； ⑶在直线上是否存在点,使∥平面？若存在， 求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【规范解答】⑴由条件知四边形是菱形，所以. 而平面平面，平面平面， 所以平面. 又平面，所以. ⑵因为，是菱形，所以. 而，所以是正三角形. 令，连结，则两两互相垂直. 如图所示，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，， 平面的法向量为. 设是平面的法向量，则 . ，则即. 设二面角的平面角为， 则是锐角，并且 ， 因此二面角的余弦值为. ⑶解：设这样的点存在，且，而， 所以. 又，所以，. 设是平面的法向量，则 . 令，则，即.要使∥平面当且仅当，所以. 这说明题目要求的点存在，实际上，延长到点，使得即得到所求的点. 【总结与反思】本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解. 例3 如图，四棱锥中，⊥底面,. （1）设的中点为，求证：； （2）求与平面所成角的正弦值. 【规范解答】 ＰＣ Ｐ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｍ （1）设， 则，，. 设平面的一个法向量为，则 ， 令得. 　　　　　　　　　　　　　 而，所以，即，又平面 故平面. （2），设与平面所成角为， 由直线与平面所成角的向量公式有： . 【总结与反思】本本题考查空间几何体的证明与计算，结合题意引辅助线处理或者是建立空间直角坐标性，运用向量法求解. 例4 已知四棱锥的底面为直角梯形,∥,底面,且 , 是的中点. (1)求与所成的角的余弦值； (2)求二面角P—AC—M的余弦值； (3)在棱PC上是否存在点N, 使DN∥平面AMC,若存在,确定点N位置；若不存在,说明理由. ABCDP A B C D P M （1）如图建立空间直角坐标系,则A（0,0,0）、C（1,1,0）、P（0,0,1）、B（0,2,0）、M（0,1,）, ∴, ∴.