对2009全国数学卷Ⅰ理22题解法探究.docVIP

对2009全国数学卷Ⅰ理22题解法探究 　　本题主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力,考察导数与不等式的综合,不等式的放缩,含字母较多,不易找到突破口,有较强的技巧性。本文主要研究(II)问,这一问考生不易得分,有一定的区分度。下面结合考生答卷情况从五个角度,剖析解题过程,阐述解题的得与失。 　　(2009全国卷Ⅰ理)设函数f(x)=x??3+3bx??2+3cx在两个极值点x??1、x??2,且x??1∈[-1,0],x??2∈[1,2] 　　(I)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域; 　　(II)证明:-10??f(x??2)??-12 　　原解答如下: 　　分析(I)这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。 　　大部分考生有思路并能够得分。 f′(x)=3x??2+6bx+3c由题意知方程f′(x)=0有两个根x??1、x??2 　　且x??1∈[-1,0],x??2∈[1,2].则有f′(-1)??0,f′(0)??0,f′(1)??0,f′(2)??0故有 　　2b-c-1??0c??02b+c+1??04b+c+4??0 　　下图中阴影部分即是满足这些条件的点(b、c)的区域。 　　(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要利用消元的手段,消去目标f(x??2)=x??2??3+3bx??2??2+3cx??2中的b,(如果消c会较繁琐)再利用x??2的范围,并借助(I)中的约束条件得c∈[-2,0]进而求解,有较强的技巧性。 　　解:由题意有f′(x??2)=3x??2??2+6bx??2+3c=0............① 　　又f(x??2)=x??2??3+3bx??2??2+3cx??2 ............② 　　消去b可得f(x??2)=-12x??2??3+3c2x??2. 　　又∵x??2∈[1,2],且c∈[-2,0] 　　∴-10??f(x??2)??-12 　　补充解法: 　　补充解法1. 由题意有f′(x??2)=3x??2??2+6bx??2+3c=0 ............① 　　又f(x??2)=x??2??3+3bx??2??2+3cx??2..................② 　　由①3bx??2??2=-32x??2??3-32cx??2,代入② 　　消去b可得f(x??2)=-12x??2??3+3c2x??2. 　　又∵x??2∈[1,2],且c∈[-2,0] 　　-10??-4+3c??f(2)??f(x??2)??f(1)=-12+3c2??-12 　　∴-10??f(x??2)??-12 　　评注:消去b,两次放缩,有较强的技巧性。 　　补充解法2. 由题意有f′(x??2)=3x??2??2+6bx??2+3c=0 ............① 　　又 f(x??2)=x??2??3+3bx??2??2+3cx??2...................② 　　由① 3cx??2=-3x??2??3-6bx??2??2,代入② 　　消去c,f(x??2)=-2x??2??3-3bx??2??2,∵-1??b??0, 　　∴0??-3bx??2??2??3x??2??2 　　-16??-2x??2??3??f(x??2)??-2x??3??2+3x??2??2 　　f(x)=-2x??3+3x??2,f′(x)=-6x??2+6x,知f(x)=-2x??3+3x??2在x∈[1,2]递减 　　∴-16??f(x??2)??f(1)=1 　　评注:消去c,两次放缩,放缩过头,无法彻底完成。 　　补充解法3. 函数f(x)=x??3+3bx??2+3cx有两个极值点x??1、x??2,且x??1∈[-1,0],x??2∈[1,2]. 　　结合导函数图像知,f(x)在x∈[x??1,x??2]上递减,且1∈[x??1,x??2],-1??b??0,-2??c??0 　　∴f(x??2)??f(1)=1+3b+3c??1 　　(如果f(x??2)??f(2)=8+12b+6c??8就更大)。 　　如果利用线性规划继续考虑,令z=b+c,c=-b+z,结合图像知,当过-12,0时Z最大,Z????max??=12,f(x??2)??f(1)=1+3b+3c??1-32=-12 　　评注:利用单调性与线性规划解答,只能完成右端的证明,无法完成左端的证明。 　　根据评卷情况,考生用此法的较多,本题区分度较大。 　　补充解法4.由解法3得到启发,用线性规划解答