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如何提升数学理解层次 　　摘 要：数学理解是世界数学教育界所关心的一个中心话题. 近年来，更是引起了国内数学教育者的广泛关注. 数学认知理解水平可分为三个层次：其一，操作性理解；其二，关系性理解；其三，迁移性理解. 本文从一道试题说起，探究在高中数学课堂中，如何有效提升学生的数学理解层次. 　　关键词：数学；理解层次；有效提升 　　[?] 问题的提出 　　1. 源起：两次“偶然” 　　例1 （2013年某市高三第一次适应性测试数学（理） 20题） 　　如图1，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC. 　　（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC； 　　（Ⅱ）（略）. 　　图1 　　例2 （2014年某市高三第一次适应性测试数学（理）19题） 　　已知数列{an}中，a1=，an+1=（n∈N*）. 　　（Ⅰ）求证：数列 　　是等差数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）（略）. 　　2013年高三第一次适应性测试后，通过对某普通高中考生的作答情况进行研究，笔者“偶然”关注到例1第（Ⅰ）问得分情况很不理想. 调查获悉，较普遍的现象是考生能想到利用直线与平面平行的判定定理来解决此题，但受困于无法顺利找到平面QBC内与PA平行的直线. 　　无独有偶，2014年高三第一次适应性测试中，例2第（Ⅰ）问的失分率也偏高，这又一次引起了笔者的关注. 答卷中，相当一部分考生无法给出 　　是等差数列的证明，而是通过a1=及递推关系式，计算a2，a3，a4（甚至更多），之后猜想得到{an}的通项公式；还有一些考生对an+1=（n∈N*）进行了一些等价变形，但方向不明确，始终没有得到与之间的关系. 　　2. 追问：背后的“故事” 　　例1与例2的第（Ⅰ）问都是比较基础的问题，但出乎意料的作答情况不禁让人追问其背后的“故事”. 笔者认为，这种现象的产生有很多原因，归根结底是学生对数学问题的理解还停留在较低的思维层次. 　　数学理解是世界数学教育界所关心的一个中心话题. 近年来，更是引起了国内数学教育者的广泛关注和积极研究. 某教育者指出，数学认知理解水平可分为三个层次：其一，操作性理解，即学生懂得了数学的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决一些识记性与操作性步骤比较强的简单问题；其二，关系性理解，即学生对数学知识的本质有比较深刻的认识，能够把握数学知识之间的内在联系和规律，能够运用所学知识解决一些综合性问题；其三，迁移性理解，即学生深刻理解数学知识，能够将数学思想、方法以及所学数学知识迁移到别的情景，能够灵活运用数学知识解决问题. 　　由于学习兴趣、原有基础、接受水平等主客观因素的影响，高三学生的数学认知理解水平存在明显的层次差异. 如何从根本上提升他们的数学理解层次，促进学习的有效性？ 　　[?] 策略的探索 　　新《数学课程标准》提出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上. 教师应帮助他们真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”. 在高三数学课堂中，教师可以从以下三个方面来提升学生对数学理解的层次，激发其学习数学的信心和兴趣. 　　1. 通过学生问题的暴露，提升理解层次 　　建构主义学习观认为，知识并不能简单地由教师传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构. 学生的错误也不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提. 　　因此，教师在教学过程中需充分了解学生的最近发展区，精心设置问题或例题，使学生经历错误产生――自我否定――加深理解的过程，在错误的思维冲击后，实现对知识的正确把握和能力培养，促使理解层次的提升. 　　【教学片段1】 讨论函数f（x）=kx3-3x2+1（k≠0）的单调区间. 　　学生1与学生2的答案截然不同，这引起了小小的“躁动”. 　　教师：两种结果，哪一个正确？ 　　学生：学生1的答案是错的. 他给出的是导函数的单调区间，而不是原函数的. 我们应该关注的是导函数的正负. 　　教师：说得真好！像学生1的错误是很普遍的，因为你们对二次函数太熟悉了，解答过程中不知不觉地“偷天换日”，转为求导函数的单调区间了. 大家要吸取教训！ 　　教师：学生2的求解呢？ 　　学生：k0时的结果是对的，但k0的结论是错的，因为此时0. 　　教师：那么正确的答案应该是什么？学生2，你能自己更正吗？ 　　学生2：当k0时， f（x）的单调增区间为 　　基于初中的学习，学生对二次函数的图象、单调区间等知识几乎根深蒂固. 当碰到导函数是二次函数时，很容易就用其单调性来代替原函数的单调性. 在学生初次接触