2017年福建省高一数学竞赛蕴獠慰即鸢讣捌婪直曜模板.docVIP

2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 （考试时间：5月14日上午8：30－11：00） 一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合，则集合中所有元素的和为（ ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】 B 【解答】由，得。又。因此。 所以，集合中所有元素的和为0。 2．已知正三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解答】设，则三棱锥外接球的半径。 由，得。 ∴ ，三棱锥的体积。 3．已知为实数，若存在实数，使得，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解答】 由，得 ∵ ， ∴ ，即，解得或。 ∴ 的取值范围为。 4．、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ） （1）对、外任意一点，存在过点且与、都相交的直线； （2）若，，，则； （3）若，，且，则； （4）若，，，，则。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 B 【解答】（1）不正确。如图，在正方体中，取为直线，为直线。过点的直线如果与直线相交，则在内，此时与直线不相交。 （2）、（3）正确。 （4）不正确。如图，正方体的面内取两条与平行的直线，如图中的直线与，则有，，，，但与面相交而不平行。 5．已知函数，若对任意实数均有，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解答】 依题意，的图像关于直线对称。 ∴ ，。 于是，，解得。 ，时， 。 ∴ ， 即。 此时，，，符合题意。 ∴ ，即时，取最小值。 6．已知，，，若，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 D 【解答】 由，得。 ∴ 。 设，则。 ∵ ， ∴ ，解得，即，。 ∴ ，即。 ∴ ，即。 由，知，。 ∴ ，解得。因此，。 又当时，代入前面解得，。符合题设要求。 ∴ 的最小值为。 二、填空题（每小题6分，共36分） 7．已知定义在上的函数（，且）的值域也是，则的值为 。 【答案】 【解答】当时，在上为增函数，依题意有 ，方程组无解。 当时，在上为减函数，依题意有 ，解得。 所以，。 8．如图，在三棱锥中，，，。设与所成的角为，则的值为 。 【答案】 【解答】如图，取中点，连接，。 ∵ ，， ∴ ，，。 ∴ ，。 又由，知是等边三角形。 作于，则，且。 ∴ 是与所称的角。 ∴ 。 9．已知，，，点在线段内，且平分，则点的坐标为 。 【答案】 【解答】如图，方程为，设（）。 又直线方程为，方程为，平分。 ∴ 点到直线、距离相等。 ∴ 。 解得，（舍去）或。 因此，点坐标为。 10．设是定义在上以2为周期的偶函数，且在区间上单调递减。若，，则不等式组的解集为 。 【答案】 【解答】∵ 是偶函数，且在区间上单调递减。 ∴ 在区间上为增函数。 又是以2为周期的周期函数， ∴ 在区间上为增函数。 又，，以及是以2为周期的偶函数。 ∴ ，。 又， ∴ 不等式组的解集为。 11．已知，定义，，，，，…，则 。 【答案】 【解答】 依题意，有，，， …………… 一般地，有。 所以，。 12．已知，，，且，则的最大值为 。 【答案】 【解答】由，知 ，当且仅当，且，即，时，等号成立。 所以，的最大值为。 三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） 13．已知，且当时，恒成立。 （1）求的解析式； （2）已知、是函数图像上不同的两点，，且。当、为整数，时，求直线的方程。 【解答】（1）依题意，，。 ∴ ，且。 ∴ 。 …………………………… 4分 此时，，可见在区间上的最小值为。 ∴ 的对称轴为，即，。 ∴ 。 …………………………… 8分 （2）由（1）知，。同理。 ∵ ， ∴ 。 ∴