2016江门数学竞赛试卷与评分参考模板.docxVIP

 PAGE \* MERGEFORMAT 15 2017年全国高中数学联合竞赛江门选拔赛试卷 （考试时间：2016年12月21日下午） 题号一二合计91011得分评卷人注意事项：1.本试卷共二大题，全卷满分120分. 2.用圆珠笔或钢笔作答，解题书写不要超过装订线. 3.不能使用计算器. 得分评卷人一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 把答案填在横线上. 1．定义集合运算: A?B=z|z=xy，x∈A，y∈B．设A=2，0，B=0，8，则集合A?B的所有元素之和为 ． 2．已知A(-2，0)，B(0，2)，M、N是圆x2+y2+kx=0(k是常数)上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M、N两点关于直线x-y-1=0对称，则?PAB面积的最大值是 ． 3．正四面体ABCD的棱长为8 cm，在棱AB、CD上各有一点E、F，若AE=CF=3cm，则线段EF的长为 cm． 4．设平面内的两个非零向量a与b相互垂直，且b=1，则使得向量a+mb与a+(1-m)b互相垂直的所有实数之和为 ． 5．若关于x的方程x2-ax+1-a=0在区间[2，+∞)上有解，则的取值范围是 ． 6．平面直角坐标系xOy中，点集所覆盖的平面图形的面积为 ． 7．已知数列的通项公式为（），其前项和为，则在数列，，… ，中，有理数项共有 项． 8．当，，为正数时，的最大值为 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 得分评卷人9．(本小题满分16分) （1）若sin2α+2sin2β=2cosα，求2sin2α+sin2β的最大值和最小值； （2）已知不等边的内角成公差为的等差数列，且1sin2A，1sin2B，1sin2C也成等差数列，求的值． 得分评卷人 10．(本小题满分20分) 已知三棱锥，，，，且分别为的中点． （1）求点到平面的距离； （2）若点在线段上移动，求面积的最小值． 得分评卷人 11．(本小题满分20分) （1）已知对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）已知数列满足，，且，，证明：当时，． 评分参考 一、填空题 题号12345678答案163+2341[53，+∞）4??43172二、解答题 9．（1）， = 1 \* GB3 ① ……………1分 ……………3分 设，则. 记，图像的对称轴为，………4分 由 = 1 \* GB3 ①可得， ，，……………………………………6分 ，，，， 的最大值为，最小值为。 ………………………8分 （2），，……………………………9分 由已知……………………………………………10分 ， 而， ，…………………………………11分 ， ， ，即，…………………13分 解得，……………………………………………14分 由已知，……………………………………………15分 ，即 （负值舍去）。………………………………16分 10．（1）设点到平面的距离为，由已知，……2分 在中，，……………………………3分 由余弦定理得， ……………………………………5分 由得， 即点到平面的距离为。…………………………………………8分 （2）由得，…………………………………………9分 点在线段上移动，在平面内过作，在平面内过作，连结，如图所示。………………11分 . 在平面内，由，得 ，， 又， 又 .………………13分 即在边上的高，. 要求面积的最小值，只需求的最小值。……………………14分 设，在中，，， 由得，. 在中，，.………16分 在中， .…………17分 ，即，…………………………………18分 时，有最小值，即有最小值，此时， ，即面积的最小值为。…20分 11．（1）原不等式可化为， 设，则，…………………2分 ，， 对恒成立.……………………………………4分 设，则 当时，；当时，， 若，则，，， 若，则，，， 由上述讨论可得.……………………………………………8分 （用判别式法求得的取值范围同样得分） 对恒成立，，即…………9分 解得，的取值范围是………………………………………10分 （2）由已知当时，， 即数列是以为首项，2为公比的等比数列， ，即.…………………………12分 （得到或中任何一式即可得2分） 当时，， 即，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即.……………14分 （得到或中任何一式即可得2分） 所以，，即，