2016年湖南省高中数学竞赛(高二)(有答案)模板.docVIP

2016年湖南省高中数学竞赛 高二 6月25日 9：00-11：00 一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分。每小题提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.设集合，在上定义运算“”为：，其中为被4除的余数，则满足关系的的个数为 2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 3.设，是公差为的等差数列，，则 4.设为非零实数，为虚数单位，，则方程与方程的同一复平面内的图形（其中是焦点）是 5.给定平面向量，那么，平面向量是将向量经过 变换得到。 顺时针旋转所得 顺时针旋转所得 逆时针旋转所得 逆时针旋转所得 6．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛的场数是 二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分） 7．规定：对于，当且仅当时，。则不等式的解集是 8．在三棱锥中，，则三棱锥的体积的最大值为 9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字，两个面上标以数字，一个面上标以数字。将这个正方体的抛掷两次，则向上的数之积的数学期望是 10．观察下列等式： ； ； ； 。。。 。。。 由以上等式推测出一般的结论： 对于 11．方程的解的集合是 12．当一个非空数集满足条件“如果，则，且当时，”时，我们称就是一个数域。以下四个关于数域的命题： ①是任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域。 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三、简答题（本大题共4个小题，满分72分） 13．（本小题满分16分）已知椭圆经过点，离心率为，经过椭圆的右焦点交椭圆于两点，点在直线的射影依次是。 （1）求椭圆的的方程； （2）连接，试探求当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由。 14．（本小题满分16分）已知四边形是正方形，是边上一点（点不与顶点重合），延长与的延长线交于点。设，，的内切圆半径分别是。 （1）证明：，并指出点在什么位置时等号成立； （2）若试求证：。 15．已知函数 （1）当时，求函数的所有零点； （2）若有两个极值点，且，求证：。 16．已知互异的正实数满足不等式。 求证：从可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。 参考答案 .. 10