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2016年全国高中数学联赛江西省预赛 试题解答 年月日上午 一、填空题（每小题分，共分） 、若的值域为，那么的取值范围是 ．答案：． 解：由值域，， ，. 、四面体中，是一个正三角形，，， ，则到面的距离为 ．答案：． 解：如图，据题意得，， 于是，， 因，得，从而以 为顶点的三面角是三直三面角， 四面体体积，而， 若设到面的距离为，则，由， 得到． 、若对于所有的正数，均有，则实数的最小值是 ．答案：． 解：由，得， 当时取等号． 、已知是正方形内切圆上的一点，记，则 ．答案：． 解：如图建立直角坐标系，设圆方程为， 则正方形顶点坐标为， 若点的坐标为，于是直线 的斜率分别为 ，， 所以， ， 由此立得． 解2：取特例，在坐标轴上，则， 这时，， 、等差数列与的公共项（具有相同数值的项）的个数是 ．答案：． 解：将两个数列中的各项都加，则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数；前者是中的全体能被整除的数，后者是中的全体能被整除的数，故公共项是中的全体能被整除的数，这种数有个． 、设为锐角，则函数的最大值是 ．答案：． 解：由， 得 ， 所以．当时取得等号． 、若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为质数，你的填法是 解答：（答案有多种） 、把从到这个连续正整数按适当顺序排成一个数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数的最小值是 ．答案：． 例如，排出的一个数列为 ． 解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作为填空题直接操作． 记这个连续正整数的集合为，由于， 则中必有，而，所以，当时，从到这个数可以搭配成满足条件的三个数段： ，但它们不能连接成一个项的数列，故应增加后续的数，增加可使得第一段扩充成，增加可使得第二段扩充成，但新的三段也不能连接，还需增加新数，即，而之前的数若与邻接，只有，这三段扩充为 ，，，仍旧不能连接，应当借助新的平方数，从到这个数能搭配成和为的最小数是，则，而当时，可排出上面的情形： ． 二、解答题（共分） 、（分）如图，是椭圆的一条直径， 过椭圆长轴的左顶点作的平行线，交椭圆于 另一点，交椭圆短轴所在直线于， 证明：． 证1：椭圆方程为， 点的坐标为，则直线方程为， …… 代入椭圆方程得到， ，，…… 因此，…… 又据∥，则点坐标为：，，…… 因为在椭圆上，则，而，， 因此．…… 证2： 易知的斜率存在，不妨令，与椭圆方程联系， 解得 …… , …… 方程为： . 将方程与椭圆方程联立，得 …… …… ， … 、（分）如图，是的旁心，点关于直线的对称点为．证明： 、三点共线；、四点共圆． 证：1、延长到，延长到,连，为旁心， 平分，…… 又关于对称， 平分, ,、、三点共线。…… 2、过作交于，则 …… 为内心。连,则平分,…… ,、、、四点共圆，…… , 、、、四点共圆。…… 、（分）设为正数，满足：，证明： 证：据条件，即要证 ① 也即 ② …… 将此式各项齐次化，因为 …… 代入②， 只要证 即…… 也即。 此为显然，故命题得证．… 证2：由题设得： ， 三式相乘，故原不等式等价于证明： …… 上式两边展开并化简得： …… 配方得： …… 即…… 显然成立. …… 、（分）设集合，对于的任一个元子集，若存在，满足，则称为“好集”，求最大的正整数，（），使得任一个含的元子集皆为“好集”． 解：因任何正整数可以表为形式，其中，为正奇数，于是集合可划分为以下个子集： ，…… 对于集合的任一个元子集，只要集中含有某一个中的至少两个元素，因，，则；此时为好集； 以下证明正整数的最大值为： …… 若时，对于的任一个元子集，如果中含有某个中的至少两个元素，则便是好集；如果中的个集合，每个集合中恰有一个元素在中，那么也有一个元素在中， 但为单元素集，于是，而，，这说明仍是好集， 因此合于要求． …… 下面说明当时，存在含的集不是好集；分两种情况： 、若，取元集，则， 因中任两个不同元素，均有(，故不为好集，这种不合要求．…… 、若，记， ，令，则，且， 若中存在，因，，则； 若，如果，只有或者，此时的取值只能是：，或者；由于，这说明，这两个数已被挖去，不在集合中； …… 若，假若，只有，这种数也已悉数被挖去，即，因此不是好集，这种也不合要求．