人教版A版高中数学修2-2第一章+1.4《生活中的优化问题举例》【教案】.docVIP

1.4生活中的优化问题举例1.教学目标 知识与技能1.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，2.形成求解优化问题的思路和方法。过程与方法1.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。 情感、态度、价值观培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度2.教学重点、难点 教学重点利用导数解决生活中的一些优化问题。教学难点理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。3.教学用具 多媒体4.教学过程 教学过程设计1、复习导入【师】问题一：导数在研究函数中有哪些应用？问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？【生】学生讨论回答【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．2、新知学习问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有几个方面？（1）与几何有关的最值问题；（2）与利润及其成本有关的最值问题；（3）效率最值问题。【生】学生讨论回答问题2：解决优化问题的方法有哪些？首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．【生】学生讨论回答问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？【生】学生讨论回答典例探究1 海报版面尺寸的设计【例题1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值.【规范解答】设版心的高为xdm，则版心的宽为此时四周空白面积为因此，x=16是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。【引申思考】在本题解法中，“是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？【生】学生讨论回答【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。在实际问题中，由于常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？【探究解答】由解法一可得：【规范解答】解法一：设箱底边长为xcm，则箱高得箱子容积由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=1000px时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．【反思提高】事实上，可导函数在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值饮料瓶大小对饮料公司利润的影响【问题引领】（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【例题2】【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm【问题】（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.【规范解答】由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是（1）半径为2cm时，利润最小，这时f(2)0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．（2）半径为6cm时，利润最大【新视角解答】我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：.图象如图，能否根据它的图象说出其实际意义？【合作探究】当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小；当时，为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越大。特别的，当r=3时，?即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等，