人教版A版高中数学修2-2第一章+1.4《生活中的优化问题举例》【练习】（教师版）.docVIP

1.4 生活中的优化问题举例一、选择题1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(　　)A．R　　　　 B．2R　 　　C.eq \f(4,3)R　　　 D.eq \f(3,4)R【答案】　C【解析】　设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2∴V＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(π,3)h(2Rh－h2)＝eq \f(2,3)πRh2－eq \f(π,3)h3V′＝eq \f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq \f(4,3)R.当0heq \f(4,3)R时，V′0；当eq \f(4R,3)h2R时，V′0.因此当h＝eq \f(4,3)R时，圆锥体积最大．故应选C.2．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为(　　)A．2m3 B．3m3 C．4m3 D．5m3【答案】　B【解析】　设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h＝eq \f(18－12x,4)＝4.5－3x(m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0x\f(3,2)))故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0x\f(3,2)))从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)当0x1时，V′(x)0；当1xeq \f(3,2)时，V′(x)0故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)的最大值从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m2)．3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　)A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件【答案】　C【解析】　本题考查了导数的应用及求导运算．∵x0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′0，x∈(9，＋∞)时，y′0，y先增后减．∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(　　)A.eq \f(\r(3),3)cm B.eq \f(10\r(3),3)cmC.eq \f(16\r(3),3)cm D.eq \f(20\r(3),3)cm【答案】　D【解析】　设圆锥的高为x，则底面半径为eq \r(202－x2)，其体积为V＝eq \f(1,3)πx(202－x2)(0x20)，V′＝eq \f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝eq \f(20,3)eq \r(3)，x2＝－eq \f(20,3)eq \r(3)舍去．当0xeq \f(20,3)eq \r(3)时，V′0；当eq \f(20,3)eq \r(3)x20时，V′0.所以当x＝eq \f(20,3)eq \r(3)时，V取得最大值．5．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为(　　)A.eq \f(r,2) B.eq \f(\r(3),2)r C.eq \f(\r(3),3)r D．r【答案】　D【解析】　如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB＝θ，则CD＝2rcosθ，h＝rsinθ，∴S＝eq \f(2r(1＋cosθ),2)·rsinθ＝r2sinθ(1＋cosθ)∴S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]＝r2(2cos2θ＋cosθ－1)令S′＝0得cosθ＝－1(舍去)或cosθ＝eq \f(1,2).即当cosθ＝eq \f(1,2)时，梯形面积最大，此时上底CD＝2rcosθ＝r.故应选D.6．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋eq \f(2,75)x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为(　　)A．25件 B．20件C．15件 D．30件【答案】　A【解析】　设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝eq \f(500,\r(x)).总利润y＝500eq \r(x)－eq \f(2,75)x3－1200(x0)，y′＝eq \f(250,\r(x))－eq \f(2,25)x2，由y′＝0，得x＝25，