8-2 2 极坐标.pptVIP

二、利用极坐标计算二重积分 例2.计算 注: 例8. 求球体 小结 * 对应有 在极坐标系下,用同心圆r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积 在 内取点 及射线? =常数, 分划区域D 为 即 于是 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图(极点在区域外) 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 (极点在区域边界上) 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 注：若 f ≡1 则可求得D 的面积 (极点在区域内部) 思考: 下列各图中域D分别与x,y 轴相切于原点,试 答: 问?的变化范围是什么? (1) (2) 注： 在极坐标系下计算，一般 1.当区域是圆或圆的一部分, 或者区域D的边界方程用极坐标表示较简单. 何时采用极坐标系来计算? 2.当被积函数为 等形式. 解: 其中 解: 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算. 利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上, 当D为R2时, 利用例2的结果, 得 ① 故①式成立 . 计算 所围成的平面闭区域. 例3. 及直线 解: 解: 原式 解： 因被积函数 D2 极坐标 计算 例6. 分析： 故 中 在积分域内变号. D1 例7. 解： 被圆柱面 所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 由对称性可知 二重积分在极坐标下的计算公式 （在积分中注意使用对称性）