2016-2017学年人教A高中数学选修2-2课时跟踪检测（八）生活中的优化问题举例Word版含解析.docVIP

课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例 层级一　学业水平达标 1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8　　　　　　　　　　　 B. C．－1 D．－8 解析：选C　瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1. 2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　) A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 D．2 cm2 解析：选D　设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)， 则S(x)＝×2×＋×2×＝，∴S′(x)＝. 令S′(x)＝0，得x＝6， 当x∈(0,6)时，S′(x)＜0， 当x∈(6,12)时，S′(x)＞0， ∴当x＝6时，S(x)最小． ∴S＝＝2(cm2)． 3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　) A．100 B．150 C．200 D．300 解析：选D　由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝ P′＝令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x400时，P′0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大． 4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　) A. B．2 R和R C.R和R D．以上都不对 解析：选B　设矩形的宽为x，则长为2， 则l＝2x＋4(0xR)，l′＝2－， 令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)． 当0xR时，l′0，当RxR时，l′0， 所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R. 5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨． 解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝， ∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＋4x，令f′(x)＝4－＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)， x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小． 答案：20 6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积最大． 解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为＝(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×()2＝(8＋2x－x2)． 帐篷的体积为 V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2) ＝(8＋2x－x2) ＝(16＋12x－x3)， V′＝(12－3x2)． 令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)． 当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0. 所以当x＝2时，V最大． 答案：2 7．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)． (1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入) 解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)， 则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)， ∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大． (2)设用于技术改造的资金为x(百万元)， 则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)， 则g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)， ∴g′(x)＝－x2＋4， 令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2. 又当0≤x2时，g′(x)0；当2x≤3时，g′(x)0， ∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大． 8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函