2016-2017学年人教A高中数学选修2-2课时跟踪检测（十三）合情推理Word版含解析.docVIP

课时跟踪检测（十三） 合情推理 层级一　学业水平达标 1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为(　　) A.　　　　　　　　 B．△ C. D．○ ＝＝. 层级二　应试能力达标 1．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”； ③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”； ④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”； ⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“＝”类比得到“＝”． 其中类比结论正确的个数是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：选B　由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 2．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质： (1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积； (2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的； (3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有(　　) A．(1) B．(1)(2) C．(1)(2)(3) D．都不对 解析：选C　以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确． 3．观察下列式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，根据以上式子可以猜想：1＋＋＋…＋＜(　　) A. B. C. D. 解析：选C　观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋＋＋…＋＜，所以当n＝2 016时不等式为：1＋＋＋…＋＜. 4．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知：四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P-ABC的体积为V，则r＝(　　) A. B. C. D. 解析：选C　将△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1，S2，S3，S4，将三角形面积公式中系数，类比到三棱锥体积公式中系数，从而可知选C.证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r，∴r＝. 5．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为____________． 解析：每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S＝4(n－1)(n≥2)． 答案：S＝4(n－1)(n≥2) 6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________． 解析：由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为， 即k＝，∴椭圆面积S＝πa2·＝πab. 答案：πab 7．观察下列两个等式： ①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝①； ②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos 36°＝②. 由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为. 猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝.下面进行证明： 左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin2α＋ ＝sin2α＋cos2α－sin2α＝＝右边． 所以，猜想是正确的． 故sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝. 8．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，有＝＋成立．那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由． 解：猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A-BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝