第五 第五节 数列的综合应用.pptVIP

[归纳领悟] 数列、函数、解析几何、不等式是高考的重点内容，将三者综合在一起，强强联合命制大型综合题是历年高考的热点和重点．数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，而一直成为高考命题者的首选． 一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，等差数列与等比数列交汇、数列与解析几何、不等式交汇是考查的热点，题型以解答题为主，难度偏高，主要考查学生分析问题和解决问题的能力． 预测2012年高考，等差数列与等比数列的交汇、数列与不等式的交汇是高考的主要考点，重点考查运算能力和逻辑推理能力． 二、考题诊断 1．(2009·福建高考)五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次． 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________． 解析：五位同学报数所构成的数列为1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2,1,0，…所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96，共5个数． 答案：5 2．(2010·上海高考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝ n－5an－85，n∈N*. (1)证明：{an－1}是等比数列； (2)求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1Sn成立的最小正整数n. 点 击 此 图 片 进 入“课 时 限 时 检 测” * * 1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等 式和解析几何等知识解决一些数列综合题． 2.能在实际情形中运用数列知识解决实际问 题． 数列的综合应用 [理 要 点] 一、数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下： 二、数列应用题常见模型 1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该 模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． 2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定 的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． 3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关 系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系． [究 疑 点] 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型． 复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型． [题组自测] 1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－ qan－1(n≥2，q≠0)． (1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)， 得an＋1－an＝q(an－an－1)．即bn＝qbn－1，n≥2. 又b1＝a2－a1＝1，q≠0， 所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列． (2)由(1)，得a2－a1＝1， a3－a2＝q， … an－an－1＝qn－2(n≥2)． 解：(1)设数列{an}的公比为q(q∈R)， 依题意可得2(a5＋4)＝a4＋a6， 即2(4q2＋4)＝4q＋4q3，整理得，(q2＋1)(q－2)＝0. ∵q∈R，∴q＝2，a1＝1. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1. [归纳领悟] 1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的 重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和 公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． 2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时 对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好 性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件 联立方程求解. [题组自测] 1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病 毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 (　　) A．6秒钟　　　　　B．