第二节二重积分的计法.pptVIP

上节小结（直角坐标下求三重积分） §5 三重积分在柱面及球面坐标下的计算 利用柱面坐标计算三重积分 利用球面坐标计算三重积分 思考与练习 一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 CH9 重积分 1. “先一后二”： 2. “先二后一”： （截面法） 规定： 则柱面坐标与直角坐标的关系为： 如图，三坐标面分别为 圆柱面； 半平面； 平 面． 如图，柱面坐标系中的体积元素为： 用柱面坐标计算三重积分的一般步骤： 1、将区域?往xoy面上投影，确定平面区域D 2、由公式 将?的边界曲面、被积函数 f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为柱面坐标系下形式； 3、过D内任一点（x，y）做平行于z 轴的直线，穿区域?确定z的上下限； 4、在 D上分别确定r、?上下限（类同于平面极坐标） 则： 次序为：z?r?? 例1 解： 原式为： 注：当积分区域为圆柱体或其一部分时，选用柱面坐标系计算三重积分，此时三次积分上下限为常数。 例2 解： 如图所示， z=r 从而原积分 将区域?往xoy面上投影 x y z 解： 知交线: 例3 解： 所围成的立体如图1， 例4 图1 图2 投影区域如图2 例4 解： 规定： 如图，三坐标面分别为 圆锥面； 球 面； 半平面． 球面坐标与直角坐标的关系为： 注：当积分区域 由球面、锥面或其一部分所围时，选用球面坐标计算较简便。 则三重积分在球面坐标系下的累次积分为： 次序为: r???? 2、将区域?往xoy面上投影，确定平面区域D，由D找出?的上下限； 4、过原点做射线，穿区域?确定r的上下限. 1、关系式 将?的边界曲面、被积函数f（x，y，z）、体积元素、三重积分化为球面坐标系下形式； 3、对任一?，过z轴做半平面，找出?角变化最大的与?的截面，确定?的上下限 用球面坐标计算三重积分的一般步骤： 例5 将三重积分 化为球面坐标系下的累次积分, ?如图所示. 解： 原积分 两曲面在球面坐标系下的方程为： ?： x y z