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函数初等函数深度思维题组1 1. 已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围． 解：设对于区间内的任意两个值，，且， 则， ，，得，，，即． 2．设函数为奇函数，则________． 3. 已知函数是奇函数．又，,求a，b，c的值； 解：由，得，得．又，得， 而，得，解得．又，或1． 若，则，应舍去；若，则． 所以，． 综上，可知的值域为． 4.设函数. （1）在区间上画出函数的图像； （2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明. 5. 已知函数． （1）对任意，比较与的大小； （2）若时，有，求实数a的取值范围． 解：（1）对任意，， 故． （2）又，得，即， 得，解得． 6. 已知，且，求c的值． 分析：将a，b都用c表示． 解：由，得，；又，则， 得．，． 点评：三个方程三个未知数，消元法求解． 7．已知函数． （1）判断的奇偶性； （2）若在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围． 解：（1）定义域为R，则，故是奇函数． （2）设，， 当时，得，即； 当时，得，即； 综上，实数a的取值范围是． 8.已知定义域为的函数是奇函数,求的值； 解：因为是奇函数，所以=0，即 又由f（1）= －f（－1）知 9.已知函数，求证： （1）函数在上是增函数； （2）方程没有负根． 分析：注意反证法的运用． 证明：（1）设，， ，，又，所以，，，则 故函数在上是增函数． （2），满足，则．又， 即，与假设矛盾，故方程没有负根． 点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系． 10. （1）已知在是减函数，则实数的取值范围是_________． （2）设函数，给出下列命题： ①有最小值； ②当时，的值域为； ③当时，的定义域为； ④若在区间上单调递增，则实数的取值范围是． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零． 解：（1），在上递减，要使在是减函数，则；又在上要大于零，即，即；综上，． （2）①有无最小值与a的取值有关；②当时，，成立； ③当时，若的定义域为，则恒成立，即，即成立；④若在区间上单调递增，则解得，不成立． 点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决． 11.已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性． 解：x须满足所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）. 因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有 ，所以是奇函数. 研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1x2 ，则 得0，即在（0，1）内单调递减， 由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减. 点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 12.设，若，，． 求证：（1）且； （2）方程在内有两个实根． 分析：利用，，进行消元代换． 证明：（1），，由，得，代入得： ，即，且，即，即证． （2），又，．则两根分别在区间，内，得证． 点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取的中点来考察的正负是首选目标，如不能实现，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布来做． 13．已知函数是偶函数,求k的值； 由于此式对于一切恒成立， 14．已知二次函数．若abc，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点. 证明： 的图象与x轴有两个交点. 15．某单位用木料制作如图所示的框架框架的下部是边长分别为xy(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省? 解由题意得 xy+x2=8∴y==(0x4). 则框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4. 当(+)x=,即x=8－4时等号成立. 此时x=8－4，故当x为8－4my为m时用料最省.