高等代数I教案线性方程组解的结构.DOCVIP

授课时间 第 22 次课 授课章节 §3.6 线性方程组解的结构 任课教师 及职称 王江鲁 教授 教学方法 与手段 课堂讲授 课时安排 3 使用教材和 主要参考书 《高等代数》（第三版）北大数学系编，高等教育出版社；《高等代数》张禾瑞等编， 人民教育出版社；《高等代数》姚慕生编，复旦大学出版社 教学目的与要求： 掌握线性方程组解的结构。 教学重点、难点： 线性方程组解的结构 教学内容： §3.6 线性方程组解的结构 本节讨论在线性方程组有无穷多个解的情况下，解与解的关系（即所谓的结构）。这一节的主要结果是：一个线性方程组若有无穷多个解，则这些解都可以用有限个解表示出来。 一. 齐次方程组的情形 设 （1） 即 1. 解的性质 . （1）的两个解的和还是它的解 . （1）的一个解的倍数还是它的解 2. （1）的基础解系 定义17. （1）的一组解称为（1）的一个基础解系，如果 . （1）的任一解都能表成的线性组合 . 线性无关 下面证明齐次线性方程组（1）在有非零解的情况下，必有基础解系。 定理8. 在（1）有非零解的情况下，它有基础解系，且基础解系所含解的个数等于。这里表示（1）的系数矩阵的秩（以下将看到，也就是自由未知量的个数） 证明：设秩. 为方便起见，不妨设在左上角的级子式不为零。由上节最后的讨论知（1）与方程组 （2） 同解。 若，即秩，因此，由克莱姆法则知（2）只有零解，也就是（1）只有零解。 设，将（2）改写为 （3） （3）作为的一个方程组，它的系数矩阵的行列式不为零。把自由未知量的任一组值代入（3），由克莱姆法则，就唯一地决定了方程组（3）——也就是方程组（1）的一个解。换句话说，方程组（1）的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样。特别地，如果在一个解中自由未知量的值全为零，那么这个解就一定是零解。 在（3）中我们用组数 （4） 分别来代自由未知量，就得到方程组（3）——也就是方程组（1）的个解： （5） 设 ，即 . 比较最后的个分量得：。因此线性无关. 设 （6） 是（1）的一个解。由于是（1）的解，所以线性组合（7） 也是（1）的解。比较（7）和（6）的最后个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两个解完全一样，即 。这就是说，任意一个解都能表成的线性组合。 综上，我们证明了为（1）的基础解系。 设是与不同的基础解系。由基础解系的定义中的条件知与等价。同时它们又都是线性无关的，从而。 例. 求方程组 的一个基础解系，并用它表出全部解。 解： 取为自由未知量 取得 取得 为方程组的一个基础解系 所给方程组的全部解为：为任意常数 例. 与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系 证：设是一个基础解系；是一个与等价的线性无关向量组。 先证每个都是解。由基础解系的定义，每个都可以表成的线性组合。因为解的线性组合仍然是解，所以每个都是解. 再证任一个解都可以用线性表出。若是任一解，则可由线性表出， 因为与等价，所以可由线性表出。所以也可由线性表出。又由题设，是线性无关的，故也是一个基础解系 二. 一般线性方程组的情形 设 （9） 1. （9）的导出组： 即 （1） （将（9）的常数项换成零就得到方程组（1），方程组（1）称为（9）的导出组） （9）的解与它的导出组的解有着密切的联系 2. （9）的两个解的差是它的导出组（1）的解 证： 设 是方程组（9）的两个解，则 显然有 即是导出组（1）的一个解 3. （9）的一个解与它的导出组的一个解之和还是（9）的解。 证： 设是（9）的一个解，则 再设是导出组（1）的一个解，则 显然 4. 定理9 若是（9）的一个解，那么方程组（9）的任一个解都可以表成 （10） 其中，是导出组（1）的一个解。当取遍（1）的所有解时，（10）就给出（9）的全部解。 证： 令，则得，由2知是导出组（1）的解 上面已证（9）的任一解都可表为（10）的形式。反之，由3知形如（10）的向量都是（9）的解。因此，当取遍（