求函数y=2x2+x+5的二三阶导数解.PPTVIP

第二章 一元函数微分学 一、极限概念 1、数列及数列的极限 数列是按一定规律排列的一串数 x1,x2……,xn，…… 简记作 ，数列也可看作是定义在正整数集合上的函数 Xn=f(n),(n=1,2,……) Xn称为数列的通项或一般项。 问题：给定一个数列 ，当项数n无限增大时，通项Xn的变化趋势是什么？,, 引例： 例1 数列 例2 数列 例3 数列 定义1，给定一个数列 ，若当n无限增大时，Xn无限地趋近某个固定的常数A，则称当n趋于无穷时，数列 以A为极限，记作 或Xn→A(n→∞) 此时,也称数列 收敛于A,否则,若当n无限增大时,Xn不能趋近某个固定的常数A,则称当n→∞时,数列 发散。 如：数列 是收敛的，且 数列 是收敛的，且 而数列 都是发散的。 例4 求 分析：由列表观察，当n→∞时, 单调有界数列必有极限。 记 （重要极限） 2、函数的极限 (1)x→∞ ①x→+∞ 引例:考察 ,当x0且趋于正无穷时的变化趋势。 定义2 设函数y=f(x)，若当x无限增大时，函数f(x)`无限趋近于某个固定的常数A，则称当x趋于正无穷时，f(x)以A为极限，记作 如 ②x →- ∞ 定义2, 若当x0,而|x|无限增大时,函数f(x)无限地趋近于某个固定常数A,则称当x趋于负无穷时,f(x)以A为极限。 记作 如: (2)x→x0 引例:①讨论当x→2时,函数y=x2的变化趋势。 ②讨论当x→1时,函数 的变化趋势。 一般地，若自变量无限接近于某一x0时，函数f(x)有接近于某一固定常数的变化趋势，就称函数f(x)在点x0处有极限。 定义3 设函数f(x)在点x0的邻域内（点x0可以除外）有定义，若当x无限趋于x0(但x≠x0)时，函数f(x)无限地趋近于某个固定常数Ａ，则称当x趋于x0时，f(x)以Ａ为极限，记作 若自变量x趋于x0时，函数f(x)没有一个固定的变化趋势，则称函数f(x)在点x0处没有极限。 如： 而 不存在， 不存在 注：极限的实质是描述在自变量的某个变化过程中函数是否有确定的变化趋势。函数有确定的变化趋势，就可能有极限；否则函数就一定无极限。 3、左极限和右极限 引入：书 P76,讨论左、右极限的必要性。 定义4 设函数f(x)在点x0的邻域内(x0点可以除外)有定义，若当xx0且x无限趋于x0(即x从x0的左侧趋于x0，记为x→x0-)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数L，则称当x趋于x0时，f(x)以L为左极限，记作 若当xx0且x无限趋于x0(即x以x0的右侧趋于x0，记为x→x0+)时，函数f(x)无限地趋近于固定常数R，则称当x趋于x0时，f(x)以R为右极限，记作 举例： x x0 设函数f(x),求f(x)= 求 1 x≥0 定理1 当x→x0时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是当x→x0时，函数f(x)的左、右极限都存在且相等，即 4、无穷小量 定义5 在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母α、β、γ等表示。 注: (1)无穷小量是一个特殊的变量 (2)无穷小量与有极限变量的关系是：变量y以A为极限的充分必要条件是y可以表示为A与与一个无穷小量的和即 定义2 无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量。 如： 在某个变化过程中，绝对值无限增大且可大于任意给定的正实数的变量称为无穷大量。 注：无穷大量与无穷小量的关系： 无穷大量的倒数是无穷小量，而非零的无穷小量的倒数是无穷大量。 二、极限的运算 1、极限的四则运算法则 定理3 在某个变化过程中，若变量u与变量v分别以A，B为极限，则有以下结论： (1)变量u±v以A±B为极限，即 Lim(u+v)=A±B (2)变量uv以AB为极限，即 Lim(uv)=AB (3)当B≠0时，变量 以 为极限，即 注：定理3 的结论(1),(2)可以推广到有限个变量的情形，即若