实数理论的算术处理.DOC

《简明数学分析》第二版介绍 郇中丹 引言：数学分析课程的意义和功能 在某种意义上说, 数学分析一方面是学习和应用数学的基础, 与代数一起成为现代数学的支撑, 与数学和其他科学领域保持着密切的联系, 因此, 数学分析自然要反映数学和科学, 特别是分析数学的发展成果和要求. 另一方面, 数学分析也有着自身的特点和功能, 它要满足培养高级专业人才的需要, 为其提供全面而有效的分析工具. 这使得数学分析又不会试图取代其后续课程(当然与后续课程的重组也是会发生的). 正是基于这样的认识, 在《简明数学分析》第二版中在内容和组织上做了如下的充实. 全书分十二章： 引言(一章), 集合与实数(两章), 数列与函数极限(两章), 连续函数与一元微积分(三章), 多元微分学(一章), 勒贝格积分学(一章), 级数(一章), 曲线与曲面上的积分(一章). 作者在第二版中重点关注的有下面的六个方面：数学严密性的说明, 实数理论的算术处理, 极限理论的统一处理, 注意微积分计算, 强调多元微分学(矩阵运用), n维空间中的曲面积分的意义和外微分形式. 在本文中仅说明第一点, 第二点和第六点. 1. 数学严密性的说明 严密性一直是人们津津乐道的数学特点, 然而具体到什么是数学的严密性, 则往往是莫衷一是. 根据作者对现代数学的研究和学习, 书中将数学的严密性, 归结为下面三点： (1) 交待清楚要讨论的问题或对象; (2) 交待清楚定义, 证明或叙述中要用到的概念和关系(叫作原始概念和原始关系); (3) 只利用这些概念和关系, 遵循逻辑规则完成对问题的叙述或证明以及模型的建立. 数学现在达到的严密性: “集合论+ 在第二版中, 作者试图让学生初步感受到这种严密性, 并力求适当地安排数学内容. 2. 实数理论的算术处理 实数理论是数学的基础, 在某种意义上是数学和数学发展的一个缩影, 蕴涵着丰富的思想, 方法和哲理. 实数理论是进入本科数学专业后碰到的第一个印象深刻的数学对象: 一个数学儿童认为再清楚不过的对象, 居然有那么多需要而最终又感到难以说明的问题. 对于学习高等数学的学生, 特别是数学专业的高才生们, 如果发现从小学开始就认为那么自然的数和实数, 居然要使用那么多的公理还难以讲清楚, 对于数学的严密性不能不发生质疑. 在数学发展到今天的水平上, 使应当, 而且能够很好地说明的. 第二版中对实数理论处理的基本想法是在坚持第一版中以中小学数学教育中用小数定义解说实数的方式为基础的观点下, 在现代数学的水准上将这种解释严格化, 同时也建立起完整的实数理论, 并且努力根据教学的要求将我们的处理完善化. 实数理论的呈现方式是在现代数学水准的基础上完成的, 也就是利用集合的语言定义实数并建立完整的实数系(完备性, 运算性质和序性质, 17页), 没有在自然数, 整数和有理数上严格由集合定义并推演, 而是给了概要的说明, 突出了带余除法的意义(2页). 下面是第二版实数理论的陈述框架： (一)实数定义 设x: ?(?如果x满足下列两个条件(简称为(*)): (1) x(k) ( {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},? k0; (2) ?n, ( kn, x(k) 9. 就称x是一个实数. 记作: x=x(0)+0.x(1)x(2)…x(n)…, 或实数系R={x: ?(?: x满足条件(*)}}. (二)实数的定义和完备性是这样完成的： 第一步: 定义实数系及实数x的整数部分[x], 小数部分{x}和n位近似sn[x]等概念(1页); 第二步: 按照通常的字典序定义实数的序并证明三歧性(半页); 第三步: 定义上界和上确界并给出确界原理并加以证明(2页); 第四步: 给出确界的性质和记号(1.5页). (三)实数的运算性质：利用上确界定义加法和乘法. 具体的步骤是: 第一步: 定义加法, 定义负元和减法; 证明负元性质: -(-x)=x和x+(-x)=0(2页); 第二步: 定义正数, 符号函数和绝对值函数; 定义乘法, 倒数和除法(1页); 第三步: 利用整数的带余除法给出有理数到实数的“嵌入”(包括序和运算), 得到有理数为循环小数的解释(4页); 第四步: 证明实数的运算性质(4页). 这里除了的定义上技巧外, 就是利用有理数的性质引入加法和乘法的等价定义, 这在证明加法和乘法的结合律和分配律时特别要用到. 在正文中我们给出了基本的证明, 习题中做些简单的充实. 3. 曲面积分的意义和微分形式 微分形式在数学和数学分析课程中有着十分重要的地位和作用, 微分形式是现代数学的基本工具是理解和学习现代数学的钥匙. 就作者的经验, 微分形式恐怕是教师和学生中许多人相当困惑的数学对象. 一方面时常看