第二节可测函数列收敛性.pptVIP

福州大学数学与计算机学院聂建英 第二节可测函数列的收敛性 函数逼近是分析及计算中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼近“坏”的或“复杂”的函数. 由于收敛概念有多种，所以函数逼近相应的也有多种含义；即“一致逼近”、“逐点逼近”、“几乎处处逼近”，后面我们还要介绍另一种收敛概念：“依测度收敛”，因此，又有“依测度逼近”的概念。 很自然地，有问题是必须考虑的： 什么样的函数可以用“好”的函数按某种收敛意义逼近？ 注：从定义可看出， 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛(除一零测度集外). 依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何. 收敛的联系（叶果洛夫定理的引入） 注: a.叶果洛夫定理中条件mE+∞不可少 注：b.叶果洛夫定理中的结论meδ不能加强到me=0 说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1 所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1. 又例. 上述{fn}处处收敛于1 但不近一致收敛于f(x)=1 n 例3（依测度收敛但处处不收敛） 取基本集E=[0,1), n=2k+i,0≤i2k,k=0,1,2,3,… 0 1 f1 f6 0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1 0 1/4 ? 3/4 1 f7 f5 f4 0 ? 1 f3 0 ? 1 f2 0 1/8 1/4 ? 1 f8 fn如下图: 因为 但是,对任何x∈[0,1) , {fn(x)}有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以{fn(x)}在(0,1]上处处不收敛； 例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛 1-δ fn(x)=xn 上述结果对一般可测集上的可测函数，相应的结论是否仍然正确呢？下面的Egoroff定理给出了一个肯定的回答。 设E为可测集,mE+∞，fn ，f是E上几乎处处有限的可测函数， 即：可测函数列的(收敛)几乎处处收敛 “基本上”是一致收敛. 定理2.1(叶果洛夫定理) 引理：设mE+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 证明：由于 为零测度集，故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有： 关于N 单调减小 叶果洛夫定理的证明 n 则fn 在R+上处处收敛于 f(x)=1 , 但fn不近一致收敛于f于R+ 例:设 1-δ 去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛， 但去掉任意零测度集， 在留下的集合上仍不 一致收敛。 例：函数列fn(x)=xn n=1,2,…,在(0,1)上 处处收敛到f(x)=0, 但不一致收敛； 说明：去掉任意一个零测度集e，留下的集合 (0,1)-e仍然以1为聚点从而可找到E-e中一点列 {xn}, 使得 收敛到1，故： 从而E-e 上fn(x)不一致收敛于f(x) 证明：由条件知 ,存在可测集 使 且 fn(x) 在 En上一致收敛于f(x) ，当然fn(x) 在En 上点点收敛于f(x) 定理2.2 (叶果洛夫定理的逆定理) 另外显然 fn(x) 在 上点点收敛于f(x) 所以 fn(x) 在E上a.e.收敛于f(x) Lebesgue定理： 设mE+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 证明: 叶果洛夫定理 mE+∞ Lebesgue定理 mE+∞ 叶果洛夫 逆定理 子列 Riesz定理 子列 Riesz定理证明的说明 证明：（必要性）任取 {fn}的子列 {fnk} ，由于 当然有 故为方便只要证明，存在 {fn}的子列 {fnk} ， 使得 从而可取得n1 n2 n3… nk…，使得 由n的任意性 故对任意ε0， ,有 对Riesz定理证明的说明：