第二节积分性质.pptVIP

福州大学数学与计算机学院聂建英 第二节积分的性质 目的：掌握一般可测函数积分的定义，熟悉它与广义Riemann积分的异同，掌握并能证明一般可测函数积分的性质。 积分的绝对连续性的证明 基本引理 推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可积性且积分值不变 注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 证明　（充分性） 　　设f(x)对等于０，则根据积分的有限可加性，有 （必要性） 　　设n为自然数，我们有 即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可积，则g(x)在E上也可积且 证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0,从而 练习 207 页 题3, 4,6,7 题 8, 9,10 It’s The End！ Thank You！ Department of Mathematics Real Analysis * * Department of Mathematics 积分的基本性质 说明：若|f(x)|M,则只要取δ=ε/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。 积分的绝对连续性即表示： 当积分区域很小时，积分值也很小. 证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积 故对任意ε，存在E上的简单函数φ(x) ， 使在E上 由于φ(x)为简单函数， 故存在M，使得|φ(x)|M 设f(x)为有界可测集E上非负可积函数， 是满足如下条件的简单函数列， 证明：第一步, 由数学分析知,单调 数列恒有极限,所以对每个x∈E,fn(x)极限存在(实数或无穷大),对任意自然数n与p有 故， 左边极限存在是因为积分列单调性， 下面证明相反的不等式 证明(第二步) 对任意ε0,令 则 其实,由于 对每个ε都是零测度集 的子集，它的测度为零 注意到 ， 所以, 于是 又因为 是递减序列 上式对n取极限有 由ε的任意性，得 定理得证。 定理：设f(x)为有界可测集E上非负可测函数列， 是满足如下条件的简单函数列， 注，在基本引理中，若不要求函数f(x)可积而只要求有积分，结论仍成立，此时为. 这个结论当函数f(x)不可积时，则成为 令， 则有 证明：因为 ，存在简单函数， 且 而 由引理得 是满足条件的简单函数， 这就证明了 注，当E为无界可测集时，基本引理成立。这是因为对一渐张的半闭方体列?(k),满足 首先应用已证结论. 令 得 至于相反的不等式,基本引哩证明中第一步的证法 对无界集显然适用,因而基本引哩在无界集情形成立. 证明：因为有 从而 注:基本引理可表示为