第二节映射集对等可列.pptVIP

福州大学数学与计算机学院聂建英 第二节映射.集的对等.可列集 3 对等与势 例 1).可数集的定义 证明：假设 是一个无穷集，任取 ，因 无穷，故 亦无穷， 因此又可以从 中任取一个元素 ，显然 ，假如已从 中取出 个元素 ，则由 是无穷集知 仍 是无穷集,从而可从中取出一个元素 ，由归纳法知可从 中取出互不相同得元素 例4 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集 证明：平面上的圆由其圆心 (x,y) 和半径 r 唯一决定,从而 有关超越数的说明 1874年Cantor开始研究无限集的计数问题; 1873年C.埃尔米特证明了e是超越数; 1882年Lindemann证明了π是超越数; 1934年A.O.盖尔丰得证明了若α不是0和1的代数数，β是无理代数数,则αβ是超越数(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。 例6 设A中的元素是直线上两两不交的开区间，则A为至多可数集 证明：由于有理数在直线上稠密，故可在每个开区间内取一有理点，则这些有理点两两不同，从而A与有理数集的一个子集对等，另外有理数集是可数集，所以A至多可数。 不可数集的存在性 推论:可数集的子集或为有限集或为可数集 可数集的性质（并集） 有限集与可数集的并仍为可数集 可数个可数集的并仍为可数集 有限个可数集的并仍为可数集 证明 设A={a1, a2, a3, a4, a5, a6, …}可数集 当集合有公共元素时，排列过程中去掉公共元素。有限个可数集类似A∪C. 假设A，B，C两两不交，则 A∪B={ b1, b2, b3 , … , bn ，a1, a2, a3, …} C= {c1, c2, c3, c4, c5, c6, …}可数集 B={b1, b2, b3, … ,bn}有限集 A∪C={ c1, a1, c2, a2, c3, a3, …} A1 A2 A3 A4 可数个可数集的并仍为可数集的证明 设可数个可数集为 当Ai互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列; 当Ai有公共元时，在排列的过程中除去公共元素； 首先[0,1]中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, …}是可数集， [ ][ ][ ][ ][ ][ ] -2 -1 0 1 2 3 4 所以Q是可数集（可数个可数集的并） 说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布 在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下). 例2 全体有理数之集Q是可数集 例3:有限个可数集的卡氏积是可数集 设A，B是可数集，则A×B也是可数集 从而A×B也是可数集（可数个可数集的并） 利用数学归纳法即得有限个乘积的情形 x固定，y在变 r (x,y) 整系数多项式方程的实根称为代数数； 不是代数数的实数称为超越数。 设 P 是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项式全体, 例 5 代数数全体是可数集 由代数基本定理知任意整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立. 我们证明了代数数全体是可数集合，通过后面可知道超越数全体是不可数集，故超越数比代数数多得多。 （　　　　）　　　（　　　　）　　（　） r * * Department of Mathematics 现实生活中，当我们谈到一组对象时，很自然的会涉及到这一组对象的个数。集合论也是这样，假如我们不考虑某个集合中元素的具体特性时，该集合含多少个元素则是一个最基本的概念。 一.映射 当然作为集合，若它们含相同个数的元素，十块砖头与九块砖头虽然有相同的属性，但其元素个数不同，而是两个不同的集合。 集合所含元素的个数确是集合的一个重要的特征。 一.映射 怎样表示集合所含元素的多少呢？有限个元素组成的集合自然不成问题，把它的元素一个一个数出来就行了。但我们将要讨论的是无穷集，也就是集合所含的元素个数不是有限的，对于无穷集，“个数”一词实际是没有意义的，然而，不同的无穷集，它们是有明显的差别，比如自然数全体与实数全体显然不同，直觉上，实数当然比自然数多得 多，那么自然数与有理数集呢？此时，直觉可能会发生错误，如果我们认为有理数比自然数多，那