2015届高三数学北师大版_00005.docVIP

专题一　高考中的导数应用问题 1． 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 答案　D 解析　函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝1·ex＋(x－3)·ex＝(x－2)ex. 由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex0，解得x2. 2． 已知函数f(x)＝asin 2x－sin 3x (a为常数)在x＝处取得极值，则a的值为(　　) A．1 B．0 C. D．－ 答案　A 解析　∵f′(x)＝2acos 2x－cos 3x， ∴f′＝2acos π－cos π＝0， ∴a＝1，经验证适合题意． 3． 函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是(　　) A．20 B．18 C．3 D．0 答案　A 解析　因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点． 又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19. 由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20， 所以t的最小值是20. 4． 已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________． 答案　[e，＋∞) 解析　f′(x)＝＝，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a≥1－ln x在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－ln x，φ(x)max＝1，故ln a≥1，a≥e. 5． 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图像在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________． 答案　[－2，－1] 解析　由题意知，点(－1,2)在函数f(x)的图像上， 故－m＋n＝2.① 又f′(x)＝3mx2＋2nx，则f′(－1)＝－3， 故3m－2n＝－3.② 联立①②解得：m＝1，n＝3，即f(x)＝x3＋3x2， 令f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0， 则[t，t＋1][－2,0]，故t≥－2且t＋1≤0， 所以t∈[－2，－1]． 题型一　利用导数研究函数的单调性 例1　已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程． (2)讨论f(x)的单调性． 思维启迪　(1)先求切点和斜率，再求切线方程； (2)先求f′(x)，然后分a＝0，a0，a0三种情况求解． 解　(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x， 所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e. 从而y＝f(x)的图像在点(－1，f(－1))处的切线方程为 y－e＝－3e(x＋1)， 即y＝－3ex－2e. (2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax. ①当a＝0时，若x0，则f′(x)0，若x0，则f′(x)0. 所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． ②当a0时，由2x－ax20，解得x0或x，由2x－ax20，解得0x. 所以当a0时，函数f(x)在区间(－∞，0)，(，＋∞)上为减函数，在区间(0，)上为增函数． ③当a0时，由2x－ax20，解得x0，由2x－ax20，解得x或x0. 所以，当a0时，函数f(x)在区间(－∞，)，(0，＋∞)上为增函数，在区间(，0)上为减函数． 综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当a0时，f(x)在(－∞，0)，(，＋∞)上单调递减，在(0，)上单调递增； 当a0时，f(x)在(，0)上单调递减，在(－∞，)，(0，＋∞)上单调递增． 　已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3，2]上单调递增，求实数c的取值范围． 解　(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax－1. 当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1， 解之，得a＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c. 则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如