2015届高三数学北师大版_00007.docVIP

专题三　高考中的数列问题 1．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于(　　) A．－20 B．0 C．7 D．40 答案　A 解析　记等比数列{an}的公比为q，其中q≠1， 依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0. 即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0， 又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20， 选A. 2．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于(　　) A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 答案　B 解析　等比数列{an}中，a5a6＝a4a7， 又因为a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9， log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10) ＝log3(a5a6)5＝5log3(a5a6)＝5log39＝10. 3．若正项数列{an}满足lg an＋1＝1＋lg an，且a2 001＋a2 002＋a2 003＋…＋a2 010＝2 013，则a2 011＋a2 012＋a2 013＋…＋a2 020的值为(　　) A．2 013·1010 B．2 013·1011 C．2 014·1010 D．2 014·1011 答案　A 解析　由条件知lg an＋1－lg an＝lg ＝1，即＝10，所以{an}为公比是10的等比数列．因为(a2 001＋…＋a2 010)·q10＝a2 011＋…＋a2 020，所以a2 011＋…＋a2 020＝2 013·1010，选A. 4．已知数列{an}满足an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则{an}的前n项和Sn＝________. 答案　2n＋1－2－n 解析　∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1， ∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n ＝2n＋1－2－n. 5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________． 答案　392 解析　将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故填392. 题型一　等差、等比数列的综合问题 例1　在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列； (3)求数列{nbn}的前n项和Tn. 思维启迪　(1)设出数列{an}的通项公式，结合已知条件列方程组即可求解； (2)由(1)写出bn的表达式，利用定义法证明； (3)写出Tn的表达式，考虑用错位相减法求解． (1)解　由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50， 得方程组， 解得. 所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. (2)证明　由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n， 所以＝＝4. 所以{bn}是首项为4，公比为4的等比数列． (3)解　由nbn＝n×4n，得 Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，① 4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，② ①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1 ＝－n×4n＋1. 所以Tn＝. 思维升华　(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列． (2)等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{bn}是一个公比为q(q0)的正项等比数列，则{logabn}(a0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq. 　数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N＋)． (1)求Sn； (2)是否存在等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，求出数列{bn}的通项公式；若不存在，说明理由． 解　(1)因为Sn＝Sn－1＋2n， 所以有Sn－Sn－1＝2n对n≥2，n∈N＋成立． 即an＝2n对n≥2，n∈N＋成立， 又a1＝S1＝2×1，所以an＝2n对n∈N＋成立