柯西不等式微课课件.pptVIP

课前探究学习 课堂讲练互动 简单形式的柯西不等式 台前县第一高级中学 李泽岭 1．认识并理解柯西不等式的代数和向量形式． 2．会用柯西不等式的代数形式和向量形式证明比较简单的不等式，会求某些函数或式子的最值． 学习目标 若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥___________， 等号成立?________． 设α，β为平面上的两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅 当β是零向量，或存在实数k，使________时，等号成立． 预习自测 1．柯西不等式 2．柯西不等式的向量形式 (ac＋bd)2 ad＝bc α＝kβ 如何证明：a1，a2，b1，b2∈R时， 自主探究 1． 设平面上两个向量为α＝(a1，a2)，β＝(b1，b2)，你能证明|α||β|≥|α·β|吗？ 2． 知识点1　利用柯西不等式证明不等式 【例1】 典例剖析 已知a，b，c，d∈R，x0，y0，且x2＝a2＋b2，y2＝c2＋d2，求证：xy≥ac＋bd. 证明　由柯西不等式知： 1． 2． 知识点2　利用柯西不等式求函数的最值 【反思感悟】 解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值． 【例3】 3．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值． 二维形式的柯西不等式 (a12＋a22)(b12＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，当且仅当a1b2＝a2b1时等号成立． 柯西不等式的向量形式|α·β|≤|α||β|，当且仅当存在实数λ≠0，使α＝λβ时等号成立． 课堂小结 2． 1． 3． 已知a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1. 求证：ax＋by＋cz≤1. 证明　由柯西不等式得： (a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2. ∵a2＋b2＋c2＝1，x2＋y2＋z2＝1，∴|ax＋by＋cz|≤1. ∴ax＋by＋cz≤1.  课后练习 课前探究学习 课堂讲练互动