2018年广西中考数学压轴题专项练习含答案题库：特殊三角形问题（10道）.docVIP

题库：二次函数压轴题-特殊三角形问题 1.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)、B两点，与y轴交于点C(0，2)，抛物线的对称轴交x轴于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)求sin∠ABC的值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1题图 解：(1)将点A(－1，0)，C(0，2)代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得， ，解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2； (2)令y＝－x2＋x＋2＝0， 解得x1＝－1，x2＝4， ∴点B的坐标为(4，0)， 在Rt△BOC中，BC＝＝＝2， ∴sin∠ABC＝＝＝； (3)存在，点P坐标为(，)或(，－)或(，4)． 【解法提示】由抛物线y＝－x2＋x＋2得对称轴为直线x＝， ∴点D的坐标为(，0)． ∴CD＝＝＝. ∵点P在对称轴x＝上，且△PCD是以CD为腰的等腰三角形， ∴当D为顶点时，有DP＝CD＝， 此时点P的坐标为(，)或(，－)； 当点C为顶点时，连接CP，CP＝CD，过点C作CG⊥DP于点G，则DG＝PG， 第1题解图 ∵DG＝2， ∴PG＝2，PD＝4， ∴点P的坐标为(，4)． 综上，存在点P使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，点P的坐标为(，)或(，－)或(，4)． 2. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B. (1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式； (2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标； (3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标． 第2题图 解：(1)由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. ∵对称轴为直线x＝－1，抛物线经过A(1，0)， ∴B(－3，0)． 设直线BC的解析式y＝mx＋n， 把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n得 ，解得， ∴直线BC的解析式为y＝x＋3； (2)如解图，连接MA， 第2题解图 ∵MA＝MB， ∴MA＋MC＝MB＋MC. ∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2. ∴M(－1，2); (3)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18， PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2， PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10. ①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2； ②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4； ③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即： 4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝. 综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)． 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形) (3)抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第3题图 解：(1)将、两点坐标代入y＝x2＋bx＋c，可得， 解得， 抛物线的解析式为y＝x2－5x－6； (2)当y＝0时，则有：x2－5x－6＝0， (x＋1)(x－6)＝0， ∴解得x1＝－1，x2＝6(舍)， ∴B(－1，0)． 由两点之间的距离公式可得： BC2＝[(－1)－6]2＝49， AC2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72， AB2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37， ∵AB2＋BC2AC2， ∴△ABC为锐角三角形． (3)存在满足条件的点，使得△PAC等腰三角形 理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂线交抛物线于点P， 第3题解图 直线MP与抛物线必有两个满足条件的点P， ∵A(0，－6)，C(6，0)， ∴点M的坐标为(3，－3)， 设直线MP的解析式为y＝kx， 将点M(3，－3)代入得，k＝－1， 即直线MP的解析式为y＝－x， 联立， 得或， ∴点P的坐标为(2－，－2)或(2＋，－2－)． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相