第6章点估计(数应)PPT.ppt

这个例子里充分统计量的意义在于： 如果我们希望抽取部分样本得到一批产品的次品率，(或者调查一部分人了解全体群众的观点等)，无论采用有放回还是不放回的抽样方法， 我们只需要知道抽取出的产品里究竟有几个次品！没有必要了解抽取的过程中，第一个是否是次品，第二个是否是次品，… 因子化 导入 为Rao-Cramer不等式中等号成立条件. 两端对 求积分，得 即 其中 由 定义 设 是取自具有概率函数 的总体 的一个容量为 的样本. 设 是一个统计量，有概率函数 . 若 成立，且当 取一固定值时， 发生条件下的条件概率函数 不依赖于 ，则称 为 的一个充分统计量. 例14 设母体有密度函数 证明 是充分统计量. 证明： 的密度函数为 当 时，上式不依赖于 ，且 的值域 也不依赖于 ，从而 是 的充分 统计量. 例15 设母体有密度函数 从中取得样本 ，其观测值为 .问 是否 的充分统计量? 解： 当 时， ，而 时的概 率函数 由充分统计量的定义知， 不是 的充分统计量. 充分统计量的判断—Neyman因子分解定理 定理6.2 设 为取自具有概率函数 的总体 的一个样本，则统计量 是一个充分统计量的充要条件 是存在两个非负函数 和 ，使得等式 (2) 由(1)得 (1) 对 分别求偏导并令其为0, 对数似然函数为 故使 达到最大的 即 的MLE，是 于是 即 为 的MLE . 对 取其它值时， 且是 的增函数 由于 极大似然估计的一个性质 可证明极大似然估计具有下述性质： 设 的函数 是 上的实值函数,且有唯一反函数 . 如果 是 的MLE，则 也是 的极大似然估计. 例9 一罐中装有白球和黑球，有放回地抽取一个容量为n的样本，其中有 k 个白球，求罐中黑球与白球之比 R 的极大似然估计. 先求p的MLE： 解: 设 为所取样本， 则 是取自B(1,p)的样本，p是每次抽取时取到白球的概率，p未知 . p的MLE为 在前面例4中,我们已求得 由前述极大似然估计的性质不难求得 的MLE是 例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差 . 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求 . 无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差 . 6.3 克拉默-拉奥不等式 所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性这一概念 . 由于 的大小来决定二者 和 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 和 都是参数 的无偏估计量，我们可以 比较 谁更优 . 有效性 则称 较 有效 . 都是参数 的无偏估计量，若有 设 和 在数理统计中常用到最小方差无偏估计. 若 满足： 设 是取自总体 的一个样本， 是未知参数 的一个估计量， （1） ， 即 为 的无偏估计； 是 的任一无偏估计. 则称 为 的最小方差无偏估计(最佳无偏估计). （2） 例10 总体 服从均匀分布 ， 为 的无偏估计 为 的渐进无偏估计 为 的无偏估计，比较 和 的有 效性. 比 有效. 设 为具有概率函数 的母体 的