高考数学专题-专题二--函数与导数.docVIP

专题二 函数与导数 函数是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起，以函数为载体，综合不等式、方程、数列交叉会合处为主干，特别是二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容，它把中学数学的各个分支有机的联系在一起，以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程的交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，多年来在高考中出题的频率相当高，占据着相当重要的地位. 利用导数研究或处理函数问题，既可以加深对导数的理解，又可以为解决函数问题提供有利的方法，使得函数问题得以简化. 高考对导数的应用中的考查形成了五大热点： 热点1-----利用导数的几何意义处理曲线的切线问题； 热点2-----利用导数研究三次函数，分式函数的性质问题； 热点3-----利用导数研究函数的单调性，单调区间，以及已知函数的单调性，确定函数式中的参变量变化范围等问题； 热点4-----利用导数处理含参数的恒成立不等式问题； 热点5-----利用导数解决实际问题中的最优化问题. 在高考命题中，除了极少数直接考查导数的有关知识外，更多的是以导数为工具解决函数的性态问题，不等式的证明，几何切线问题以及解决应用问题. 数学是一种工具，数学解题的最终目标就是利用有效的工具去合理地解决问题.导数就是这样一个很好的例证.导数作为高中数学新增内容，它为研究函数的形态提供了一般的方法，利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，较之传统方法具有简捷明快，容易掌握等特别明显的优越性，为解决函数问题提供了有力的方法，使得函数问题得到简化.导数的几何意义又为研究几何中的切线问题提供了更简捷的方法. 要记住函数的几个重要性质： （1）关于对称性. ①如果函数对于,都有,那么, 函数的图象关于直线对称; 如果函数对于,都有,那么, 函数的图象关于直线对称; ②如果函数对于,都有,那么, 函数的图象关于点对称;对称; 如果函数对于,都有,那么, 函数的图象关于点对称; ③函数与函数的图象关于直线对称; 函数与函数的图象关于直线对称; 函数与函数的图象关于原点对称; ④函数与函数的图象关于直线对称; 函数与函数的图象关于直线对称; ⑤函数与函数的图象关于直线对称; (2) 关于奇偶性与单调性的关系. ①如果奇函数在区间上是递增的,那么函数在区间上也是递增的; ②如果偶函数在区间上是递增的,那么函数在区间上是递减的; (3) 关于复合函数的单调性. 如果函数在区间上有定义,值域为区间F，函数在区间F上有定义,则 ①若为增函数, 也为增函数,则为增函数; ②若为增函数, 为减函数,则为减函数; ③若为减函数, 也为减函数,则为增函数; ④若为减函数, 为增函数,则为减函数; (4)关于分段函数的单调性. 若函数,在区间上是增函数, 在区间上是增函数,则在区间上不一定是增函数,若使得在区间上一定是增函数,需补充条件:. (5)关于周期性与对称性. 结合三角函数的性质记忆. 考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种数学思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.” 什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题: －是否需要把一个代数式看成一个函数? －是否需要把字母看作变量？ －如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？ －如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？ －是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？ －如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？根的几何意义是什么？ 【例1】已知二次函数的图象经过坐标原点,其导数为数列的前n项和为，点均在函数的图像上. （1）求数列的通项公式； （2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m. 【分析及解】（1）依题意得，设这二次函数 ,则 ,又由于,得. 所以 . 又因为点均在函数的图像上，所以. 当n≥2时，; 当n=1时， 所以. （2）由（1）得 ， 故=. 把代数式看作的函数,因此，使得成立的必须满足 的最大值 , 即≤，即, 故满足要求的最小整数为10. 【例2】已知 是上的减函数，那么 a 的取值范围是. A. B. C. D. 【分析及解】本题从表面上看并不困难, 若为减函数,则, 若为减函数,则,于是, a 的取值范围是 . 但是,这个结果是错误的,