极值点偏移的问题（含答案）.docVIP

极值点偏移的问题（含答案） 6.设函数，其图象轴交于，两点，且． （1）求的取值范围； （2）证明：（为函数的导函数函数的图象，求的值． 【解】（1）． 若，则是单调增函数，这与题设矛盾．所以，令，则． 当时，，是时，，是时，取得极小值． 因为函数的图象轴交于两点，(x1＜x2)， 所以，即．. 此时，存在； 存在， 又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围. （2）因为 两式相减得． 记，则，设，则，所以是单调减函数， 则有，而，所以． 又是单调增函数，且 所以． （3）依题意有，则． 于是，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，所以，即， 由直角三角形斜边的中线性质，可知， 所以，即， 所以， 即． 因为，则， 又，所以， 即，所以 7.已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， （Ⅲ）如果，且，证明 （Ⅰ）解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x1时，2x-20,从而’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x). Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以,即2. 8. 已知函数 （12分） （I）讨论fx)的单调性；（II）设a＞0，证明：当时，； （III）若函数y= fx)的图像与x轴交于AB两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0) 已知函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）证明：当 时，解： (Ⅰ) . 所以，上单调递增；在上单调递减. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x0时f(x) f(x)即可。 。 。 . （1）当时，求函数在上的最大值； （2）令，若在区间上不单调，求的取值范围； （3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明： 解（1） 函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，……………3分 所以． ……4分 （2）因为，所以， ……5分 因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，，有=，（） ……6分 又当时有， ……7分 综上 ……8分 （3）∵，又， ∴，两式相减，得， ∴, ……10分 于是 ． ……11分 ． 要证：，只需证： 只需证：．令，化为 即可． ，即．．