概率论与数理统计课件（王志勇）c6-2.pptVIP

* * * * * * 由 t 分布结构定理， # 3. 因Z～t(m), 根据 t 分布结构定理，有 自由度是由线性代数中借用的术语。 定义1. 若存在一组不全为零的常数 C1、C2、…、Cn 使得 C1X1+C2X2+…+CnXn=0，则称变量 X1、X2、…、Xn 之间存在一个约束条件。 定义2. 若存在 k 个约束条件 Ci1X1+Ci2X2+…+CinXn=0， i=1，2，…，k 其中系数矩阵 ( Cij )kn 的秩为 k ，且对于任何 m ( k≤m ) 个约束： Ci1 X1+Ci2 X2+…+Cin Xn=0， i=1，2，…，k 矩阵( Cij )kn 的秩总不大于 k ，则称变量 X1、X2、…、Xn 之间存在 k 个独立的线性约束条件。 易知， X1、X2、…、Xn 中只有 ( n-k ) 个独立变量。 定义3. 若在平方和 ∑Xi2 中， X1、X2、…、Xn之间存在着 k 个独立的线性约束条件，则称平方和 ∑Xi2 的自由度为 n-k ( 即其中独立变量为 n-k 个 )。 # * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 数理统计常用分布 * * §6.2 常用统计分布 上侧分位数u? ( 0 ?1）满足 标准正态分布 一、四种常用统计分布 对于正态分布有： 上侧分 位数u? 阴影部分面积为? 查表 如 ? ＝0.025 时， u?＝？ 2. ?2 (卡方)分布 上侧分位数例题 自由度为n 的?2分布，记为 称随机变量X 服从 定理6.2.1 设 X1，X2，…，Xn 相互独立且都服从标准正态分布，则 即随机变量 ?2 服从自由度为 n 的卡方分布. 例 统计量的分布 (之一) ?2分布的三条性质： 性质1.(数字特征) 设 ?2 ~ ?2(n) ，则有 E( ?2 ) = n ， D( ?2 ) = 2n 证明: 且 X1，X2，…,Xn相互独立，Xi～N(0,1)， 性质2(可加性)设Y1、Y2相互独立,且Y1～?2(n1) , Y1～?2(n2)，则 Y1+Y2 ～ ?2(n1+ n2) . 证明: 记 从而 Y1+Y2～ ?2 (n1+n2). 且Xi , i=1,2,…,n1+n2 相互独立，Xi～N(0,1), 性质3.(大样本分位数 ) 当n 足够大(如 n 45 )时，有 证 明 ?2(n) 的上侧分位数( 0 ?1 )： 阴影部分面积为? 3.自由度为 n的 t 分布 T～t(n) t (n) 的上侧分位数 t ?(n) ( 0 ?1 )： 又称学生氏分布----第一个研究者以Student 作笔名发表文章. 例 查表计算概率 T 分布的特点： 1.关于纵轴对称： 即随机变量 T 服从自由度为 n 的 t 分布. 定理6.2.2 设随机变量X, Y 相互独立, X ~N(0,1)， Y～ ?2(n)，则 2. n 较大时(n30)， 例 查表计算： 4. F 分布 F ～F ( n1 , n2 ) 称X 服从第一自由度为n1,第二自由度为n2的 F分布. 定理6.2.3 设随机变量X，Y 相互独立， X ~ ?2(n1) ，Y～ ?2(n2)，则 即随机变量 F 服从第一自由度为n1，第二自由度为n2 的F分布. 推论1 F ( n1 , n2 )的上侧分位数F ?( n1 , n2 ) ( 0 ?1 )： 推论2 例 统计量的分布 (之二) 二、抽样分布定理 定理6.2.4 定理6.2.5 设正态总体 X 与 Y 相互独立， X ～ , 样本为X1， X2，… X n1,样本均值和样本方差为 ； Y ～ ，样本为Y1， Y2，… Y n2，样本均值和样本方差为 . 则有 总体、个体 简单随机样本 统计量 统计量的分布 正态总体的2个抽样定理 样本均值 样本方差 样本矩（样本相关系数） χ2分布 t 分布 F分布 分位数 结构定理 例 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的 α(0α1)，数uα满足 ， 则 x 等于 例 : 统计量的分布(之一) 解 设 X1, X2 ,… , Xn 是来自正态总体 的容量为 n 的样本，求下列统计量的概率分布： # 证明 且 X1，X2，…