同济第六版高数答案(高等数学课后习题解答).【必威体育精装版精选】.docVIP

习题11-8 1. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1); 解 因为f(x)=1-x2为偶函数, 所以bn=0(n=1, 2, × × ×), 而 , (n=1, 2, × × ×), 由于f(x)在(-￥, +￥)内连续, 所以 , x?(-￥, +￥). (2); 解 , (n=1, 2, × × ×), (n=1, 2, × × ×). 而在(-￥, +￥)上f(x)的间断点为x=2k, , k=0, ±1, ±2, × × ×, 故 (x12k, , k=0, ±1, ±2, × × ×). (3). 解 , (n=1, 2, × × × ), (n=1, 2, × × × ), 而在(-￥, +￥)上, f(x)的间断点为 x=3(2k+1), k=0, ±1, ±2, × × ×, 故 , (x13(2k+1), k=0, ±1, ±2, × × ×). 2. 将下列函数分别展开成正弦级数和余弦级数: (1); 解 正弦级数: 对f(x)进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a0=0(n=0, 1, 2, × × ×), (n=1, 2, × × × ) 故 , x?[0, l]. 余弦级数: 对f(x)进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为 , (n=1, 2, × × × ) bn=0(n=1, 2, × × × ), 故 , x?[0, l]. (2)f(x)=x2(0￡x￡2). 解 正弦级数: 对f(x)进行奇延拓, 则函数的傅氏系数为 a0=0(n=0, 1, 2, × × ×), , 故 , x?[0, 2). 余弦级数: 对f(x)进行偶延拓, 则函数的傅氏系数为 (n=1, 2, × × ×), bn=0(n=1, 2, × × ×), 故 , x?[0, 2]. 总习题十一 1. 填空: (1)对级数, 是它收敛的________条件, 不是它收敛的________条件; 解 必要; 充分. (2)部分和数列{sn}有界是正项级数收敛的________条件; 解 充分必要. (3)若级数绝对收敛, 则级数必定________; 若级数条件收敛, 则级数必定________. 解 收敛; 发散. 2. 判定下列级数的收敛性: (1); 解 因为 , 而调和级数发散, 故由比较审敛法知, 级数发散. (2); 解 因为 , 故由比值审敛法知, 级数发散. (3) ; 解 因为 , 所以由根值审敛法, 级数收敛; 由比较审敛法, 级数收敛. (4); 解 因为 , 而调和级数发散, 故由比较审敛法知, 原级数发散. 提示: (5)(a0, s0). 解 因为 , 故由根值审敛法知, 当a1时级数收敛, 当a1时级数发散. 当a=1时, 原级数成为, 这是p=s的p-级数, 当s1时级数收敛, 当s￡1时级数发散. 3. 设正项级数和都收敛, 证明级数与收敛. 证明 因为和都收敛, 所以, . 又因为, , 所以级数和级数都收敛, 从而级数 也是收敛的. 4. 设级数收敛, 且, 问级数是否也收敛？试说明理由. 解 级数不一定收敛. 当和均为正项级数时, 级数收敛, 否则未必. 例如级数收敛, 但级数发散, 并且有 . 5. 讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: (1); 解 是p级数. 故当p1时级数是收敛的, 当p￡1时级数发散. 因此当p1