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7.1 控制系统的稳定性分析 1.利用极点判断系统的稳定性 判断一个线性系统稳定性的一种最有效的方法是直接求出或画出系统所有的极点，然后根据极点的分布情况来确定系统的稳定性。 在MATLAB中，函数pzmap( )可绘制连续系统在复平面内的零极点图，其调用格式为 [p,z]=pzmap(num,den) [p,z]=pzmap(p,z) [p,z]=pzmap(A,B,C,D) 其中，列向量p为系统极点；列向量z为系统的零点；num,den和A,B,C,D分别为系统的传递函数和状态方程的参数。 对于单变量系统，pzmap( )函数在复平面内可求出系统的零极点。对多变量系统，pzmap( )可求出系统的特征向量和传递零点。当不带输出变量时，pzmap( )可在当前图形窗口中绘制出系统的零极点图；当带有输出变量时，可得到零极点位置，如需要可通过pzmap(p,z)绘制出零极点图，图中的极点用 “×”表示，零点用 “o”表示。 对于离散系统的零极点图，可利用函数zplane( )进行绘制，其调用格式同pzmap( )函数。为提供参考函数，zplane( )在绘制离散系统零极点图的同时还绘出单位圆。 例7-1 已知闭环系统的传递函数为 判定系统的稳定性，并给出系统的闭环极点。 解 利用下面的MATLAB程序 %ex7_1.m num=[3,2,1,4,2];den=[3,5,1,2,2,1]; r=roots(den),pzmap(num,den) 可得以下闭环极点和如图7-1所示的零极点图。 r = -1.6067 0.4103 + 0.6801i 0.4103 - 0.6801i -0.4403 + 0.3673i -0.4403 - 0.3673i 由以上结果可知，连续系统在右半s平面有两个极点，故系统不稳定。 例7-2 已知单位负反馈离散系统的开环脉冲传递函数为 判断该系统的稳定性。 解 利用下面的MATLAB程序 %ex7_2.m num0=[5,4,1,0.6,-3,0.5];den0=[1,0,0,0,0,0]; [num,den]=cloop(num0,den0); r=roots(den), zplane(num,den) 可得以下闭环极点和如图7-2所示的零极点图。 r = -1.0700 -0.1762 + 0.8552i -0.1762 - 0.8552i 0.5793 0.1763 由以上结果可知，离散系统在z平面的单位圆外有一个极点，故系统不稳定。 2. 利用特征值判断系统的稳定性 系统的特征方程 |sI-A|=sn+a1sn-1+…+an-1s+an＝0 的根称为系统的特征值，即系统的闭环极点。当然判断系统的稳定性同样可利用特征值来判断。 例7-3 已知系统的状态方程为 判断系统的稳定性。 解 利用下面的MATLAB程序 %ex7_3.m A=[2.25,-5,-1.25,-0.5;2.25,-4.25,-1.25,-0.25; 0.25,-0.5,-1.25,-1;1.25,-1.75,-0.25,-0.75]; P=poly(A);r=roots(P),ii=find(real(r)0);n=length(ii); if(n0);disp(System is Unstable);else; disp (System is Stable);end 3.用李雅普诺夫第二法来判断系统的稳定性 线性定常连续系统 　　　　　　　 (7-2) 在平衡状态xe=0处，渐近稳定的充要条件是：对任给的一个正定对称矩阵Q，存在一个正定的对称矩阵P，且满足矩阵方程 ATP＋PA＝－Q　　 　　 　　　　　 而标量函数V(x)=xTPx是这个系统的一个二次型形式的李雅普诺夫函数。 MATLAB提供了李雅普诺夫方程的求解函数lyap( )，其调用格式为 P=lyap(A ,Q) 7.2 控制系统的时域分析 利用时域分析方法能够了解控制系统的动态性能和稳态性能，如系统的上升时间、调节时间、超调量和稳态误差都可以通过系统在给定输入信号作用下的过渡过程来评价。MATLAB控制系统工具箱中提