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第三章 导数的应用 上一章我们以几个简单的实例引入了导数的概念，并讨论了导数的基本计算方法，这一章我们将介绍如何利用导数来研究函数一般性质，这里包括函数的单調性、极值性和最值性等等，并进一步利用这些知识解决一些实际问题。 第一节 微分中值定理 微分中值定理是连接微分学理论与应用的桥梁，它是研究函数整体性质强有力的工具。 一、罗尔(Rolle)中值定理 引理（费马定理）设在可导，并且在某邻域内恒有： （或），则。 证明 仅证在内恒有的情形。 由已知得，，又因为在可导，所以， 一方面，； 另一方面，。 由题意得: 于是，。 定理1（罗尔中值定理） 如果函数满足： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）。 则在内至少存在一点，使得。 证明 由闭区间上连续函数性质，在上必能取到最小值m和最大值M。 如果m = M，那么，于是有，。 否则，，于是，或至少有一个成立。根据罗尔中值定理的条件（3），在内至少存在一个最值点，不妨设，因为在可导，那么，由费马定理，。 罗尔中值定理的几何意义是： 如果一条连续曲线，除曲线端点 之外每一点都存在切线，并且曲线的两个端 点在同一水平线上，那么在该曲线上至少存在一 点，使得过该点的切线为水平切线（如右图）。 值得说明的是：此定理中的三个条件是充分条件，如果有一个条件不满足结论只是有可能不成立。 作为罗尔中值定理的应用，它主要用于解决方程根的问题。下面我们举例说明罗尔中值定理的应用。 例1设，说明方程有几个实根。 解 不难验证f ( x ) 在[1, 2]、[2, 3]、[3, 4]上满足罗尔中值定理的条件，由罗尔中值定理，方程分别在区间(1, 2)、(2, 3)、(3, 4)内至少各有1个实根，又是3次方程，所以，该方程至多有3个实根，所以方程有且仅有3个不同的实根，它们分别位于区间(1, 2)、(2, 3)、(3, 4)内。 例2 证明方程在(0, 1)内至少有一个实根。 证明 令，则在[0, 1]上满足罗尔中值定理的全部条件，由罗尔中值定理，至少存在一点∈(0, 1)，使得，即方程在(0, 1)内至少有一个实根。 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 定理2 （拉格朗日中值定理）如果函数满足： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导。 则在内至少存在一点，使 分析 这个定理与罗尔中值定理相比，它少了一个条件，这就是：。 现在我们把问题逆过来讨论， 讨论到这里，就看是否满足罗尔中值定理的全部条件了。 证明 作辅助函数，那么在区间上满足罗尔中值定理的条件(1)、(2)，并且。由罗尔中值定理，在内至少存在一点，使, 证毕。 值得注意的是：罗尔中值定理是拉格朗日定理的特殊情形。 拉格朗日(Lagrange)中值定理亦称微分中值定理。 拉格朗日中值公式： 或 拉格朗日中值定理的几何意义： 除曲线端点之外每一点都存在切线的连续曲线在区间 内，至少有一点，使得过该点的切线与过曲线 端点的割线平行。（如右图所示） 推论1 如果在内则在 内为一常数。 证明 任取，且，那么函数 在上满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在,使得 由于，所以，即，由在内的任意性，可知在内为一常数。 推论2 如果对内的任意，有，则有。 其中是常数。 证明 令，则　由推论１知在内为一常数，即。 在我们遇到的实际问题中，拉格朗日中值定理多数用于解决等式及不等式的证明。同学们对这方面的应用应多多加强练习。 例3 证明不等式：。 证明 如果a = b，则不等式自然成立。否则，可令，，那么，在闭区间上连续，在开区间内可导，由拉格朗日中值定理得，即，所以 例4 证明 证明 令，则在上可导，且有 ，所以由推论1有：，注意到，所以，。 从上面几个例子，我们可以看到，合理构造新函数，常常是解决问题的关键。下面再看一个这方面应用的例子。 例5 如果在上连续，在内可导，并且。证明，至少存在一点，使得。 分析 证明这个问题的关键，就是如何构造一个新的函数，使得这个函数一方面满足中值定理的条件，另一方面，由定理的结论由能得出我们所要的结果， 因为 （这一步是解决问题的关键），分析到此，我们的问题就不难的到解决了。 证明 令，由已知，不难验证 （1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导。 又因为，所以（3）。因此，在满足罗尔中值定理的所有条件。根据罗尔中值定理，至少有一点，使得，即。 三、柯西（Cauchy）中值定理 定理３（柯西中值定理）如果函数和满足：（１）和在闭区间上连续；（2）和在开区间内可导；且　则在内至少存在一点，使得。 证明 因．所以　否则，满足罗尔中值定理，于是，在内至少存在一点，使得这与已知矛盾。 作辅助函数，不难验证在上满足罗尔中值定理的全部条件，由此可得本定理的证明。 注意到：