第三讲极限计算.pptVIP

第三节 函数的极限 商的极限(*/0) 例9 解 例题 例10 解 例题 例11 解 例题 不能滥用等价无穷小代换. 注意 例12 解 例题 例13 解 解 错 例题 例14 解 例题 函数无穷小运算封闭性 两个无穷小量的加减乘运算结果仍是无穷小量 这种运算不变性称为运算封闭性，即 无穷小量关于加减乘运算是封闭的 又如两个任意正数之和与积是任意正数 我们说任意正数关于加乘运算是封闭的 函数无穷小运算封闭性 证： 由定义， 函数无穷小运算封闭性 证： 由定义， 函数无穷小保号性 证: * 教学目的：函数极限 教学重点：极限运算 教学难点：特殊极限 函数极限 函数极限 特殊极限 极限性质 几何性质 代数性质 有界性 保序性 保号性 唯一性 封闭性 两边夹准则 邻域 函数极限 与数列极限 单侧极限 函数无穷小量 函数无穷小量 特殊无穷小量 极限性质 几何性质 代数性质 有界性 保号性 封闭性 两边夹准则 无穷小阶 等价无穷小量 无穷大量 数列极限的定义 函数极限的定义 ０ X 数列跳跃趋近 函数连续趋近 函数极限 函数极限与数列极限也有不同处 函数极限的定义 ０ X 函数极限 呢？ 这时候该如何定义极限 函数极限的定义 ０ X -X 函数极限 为了定义函数在某点的极限，必须了解邻域 a a+? a-? 心 半径 称区间(a-?,a+?)为点a的?邻域，记做Ｕ（a,?） 称Ｕ（a,?）去掉点a后的集合为点a的去心邻域 记做Ｕ０（a,?） 如果用?衡量点a的?邻域的大小，则没有最大的 邻域，也没有最小的邻域 邻域 a a+? a-? 邻域使数轴分为内外两部分 向外可以无限逼近正无穷大和负无穷大 向内可以无限逼近点a,从左边和右边 邻域就是用来刻画向内逼近某点的 邻域 函数极限的定义 ０ X -X 函数极限的定义 x0 X -X 函数极限 函数极限的定义 ０ X 函数极限的定义 x0 X 函数单侧极限 函数极限的定义 0 X 函数极限的定义 x0 X 函数单侧极限 函数极限的两边夹准则和数列的完全类似 函数极限的唯一性和数列的完全类似 函数极限的保序性和数列的完全类似,从而 函数极限运算性质和数列的完全类似 函数极限性质 推论 定理(保序性) 函数极限保序性 定理(保号性) 推论 函数极限保号性 定义 定理 函数极限与数列极限 证 函数极限与数列极限 极限四则运算 泛四则比四则用起来要便利得多,它容忍未知极限 极限泛四则运算 例 指数函数部分一看就有极限，且不为０，根据极限泛运算法则，不管后面部分是否存在极限，可以分成两部分求极限． 例题 商的极限(*/0型) 例1 解 例题 解 例2 例题 解 例3 (消去零因子法) 例题 例4 解 (无穷小因子分出法) 例题 例6 解 例题 例7 解 左右极限存在且相等, 例题 例8 解 例题 以0为极限的函数称为无穷小量 两个无穷小量的加减乘运算结果仍是无穷小量： 有界量和无穷小量的乘积仍是无穷小量 函数无穷小量 无穷小阶 常用等价无穷小: 等价无穷小量 无穷大量 *