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方程及方程的应用 北京市数学高级教师 郭洁 一、知识梳理 方程 1．整式方程 一元一次方程 二元一次方程 一元二次方程 2．分式方程 3．实际问题 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ） x1= ， x2= . 4x2+13x+3=0 ， x2=-2 2x2+5x+2=0 ， x2=-1 3x2+x-2=0 x2-3x+2=（x-1）（x-2） x1=1 ， x2=2 x2-3x+2=0 x2-2x+1=（x-1）（x-1） x1=1 ， x2=1 x2-2x+1=0 二次三项式因式分解 两个根 一元二次方程 二、例题分析 例1 探究下表中的奥秘，并完成填空： x1= 3x2+x-2=2（x- x1=- 2x2+5x+2=2（x+ 将你发现的结论一般化，并写出来． 例2 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程： （1）请解上述一元二次方程1、2、3、n； （2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可． 例3、解分式方程： 例4、已知关于x的方程 的一个解与方程 的解相同． ⑴求k的值； ⑵求方程 的另一个解. 例5、2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据．已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额． 40 35 54 降价金额（亿元） 2007 2005 2004 2003 2001 年份 例6、某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元． （1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？ 例6、某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元． （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？ 例7、[注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．] 甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后两人按原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地早l小时21分，求两人的速度． (1)设甲的速度是x千米／时，乙的速度是y千米／时，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表(要求：填上适当的代数式，完成表格)： y 乙 27 27 x 甲 走完全程时 3 y 乙 3 x 甲 相遇时 所走的路程(千米) 所用时间(时) 速度(千米／时) 例7、 甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后两人按原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地早l小时21分，求两人的速度． (1)设甲的速度是x千米／时，乙的速度是y千米／时，根据题意，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表(要求：填上适当的代数式，完成表格)： (2)列出方程(组)，并求出问题的解． y 乙 27 27 x 甲 走完全程时 3 y 乙 3 x 甲 相遇时 所走的路程(千米) 所用时间(时) 速度(千米／时) 例8、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.