数理统计一些基本概念.doc

数理统计的一些基本概念 【学习目标】 知道参数分布族与非参数分布族的概念 掌握总体与样本的概念及样本的四个性质：随机性、代表性、独立性、二元性 掌握统计量的概念：不依赖于任何位置参数的样本的可测函数，并会判断某表达式是否是统计量 常见的统计量：样本均值、样本方差、样本标准差、样本原点矩、样本中心距、样本协方差、样本相关系数等，要求会写出它们的表达式 熟练掌握次序统计量的密度函数公式，并会求某次序统计量的一些数字特征 熟练掌握总体分位数的概念及含义；会求简单的已知分布的总体的分位数；基于标准正态分布分位数的正态表要会查 了解样本中位数与极差 了解经验分布函数，会根据次序统计量的观测值写出分布的经验分布函数；知道在大数的前提下经验分布函数是总体分布函数的一个不错的估计 掌握Gamma分布的密度函数形式；记住Gamma分布总体的均值与方差；熟悉独立的Gamma分布随机变量对于第一个参数的可加性 了解Beta分布 熟练掌握卡方分布的构造性定义及密度函数定义；熟练掌握卡方分布总体的均值与方差；熟悉独立卡方分布随机变量对自由度的可加性；会查卡方分位数表 熟练掌握t分布的构造性定义；知道当自由度比较大时t分布可近似用标准正态分布代替；会查t分布的分位数表 熟练掌握F分布的构造性定义；熟悉F分布的重要性质（倒数也服从F分布，自由度交换）；会查F分布的分位数表以及F分布的分位数与分位数之间的倒数关系（自由度要交换） 熟练掌握正态总体中样本均值与样本方差的具体分布形式及它们的独立性； 掌握由样本均值出发如何构造标准正态分布随机变量；掌握由样本均值与样本方差出发如何构造t分布随机变量； 掌握由两个正态总体的样本均值与样本方差出发如何构造t分布随机变量； 【典型例题讲解】 例1、在抛硬币的随机试验中，若抛得正面记为1，抛得反面记为0，利用切比雪夫不等式确定,需抛多少次才能使样本均值落在0.4和0.6之间的概率至少为0.9？如何才能更精确地计算使概率接近0.9所需抛的次数？是多少？ 解：（粗略计算：切比雪夫不等式） 设需抛硬币至少为n次可满足条件，并设第i次抛硬币时， ， 则为独立同分布随机变量，其分布律为：，显然，且对于样本均值来说，，，由切比雪夫不等式有： ，于是 （更精确计算：中心极限定理） ，得：，即 例2、若一总体的方差，而是容量为100的样本均值。分别利用切比雪夫不等式和中心极限定理求出一个界限，使得夹在这一界限之间的概率为0.9 解：（切比雪夫不等式）设这一界限为，则据切比雪夫不等式有： ，于是，从而 （中心极限定理） ， 即，于是，所以 例3、设总体的分布函数为，是取自总体的一个样本，若的二阶矩存在，为样本均值，试证：与的相关系数 证明：为简化记号，记，则两随机变量与的相关系数为：，其中 于是相关系数 例4、设总体的分布密度函数为 其中为容量为5的取自此总体的样本的次序统计量，试证：与相互独立。 证明：总体的分布函数为 先求的密度函数，需要先求次序统计量与的联合密度函数 从而的密度函数为 又可求的分布密度函数为： 再求与的联合密度： 令，反解得：，于是变换的雅克比行列式为 ，得：，因此与的联合密度为 可见，与相互独立。 例5、设总体的分布函数是连续的，为来自此总体的样本的次序统计量，设，试证： ，且是来自均匀分布总体的次序统计量； ； 和的协方差矩阵为，其中 证明：（1）因为为连续的随机变量，分布函数为，可知是上的均匀分布随机变量，又是取自总体的样本的次序统计量，而分布函数单调飞将，于是，也即，且是来自均匀分布总体的次序统计量。 的密度函数为，于是 对任意的来说，的联合密度函数为 于是 令，则 ； ；，于是和的协方差矩阵为 【课后习题参考解答】 习题一 设是来自总体的一个样本，其中是已知的，而未知。指出，，，，中那些是统计量，哪些不是统计量，为什么？ 解：统计量有，，，；其它不是统计量，因为含有未知参数。 设与都是任意实数，又设，试证： 证明：（1） 3、从总体抽样得到一个容量为10的样本，其值为 3.7 ，2.0， 1.3， 1.7， 4.2， 3.1， 5.9， 2.6, 4.4, 5.3 试分别计算样本均值与样本方差的值 解： 设有来自总体X的样本值，在计算样本均值 与样本方差 时，常常先对数据作变换 。设及为的样本均值与样本方差，试证：（1）（2） 证明：（1）； 于是有： （2） 5、设是来自总体的样本值，记，，现又获得第个观察值，证明： （