《电动力学第三版》chapter6_7电磁场中带电粒子的拉格朗日量 和 与哈密顿量.pptVIP

第六章 狭义相对论 内容概要 1. 拉格朗日形式 3. 非相对论情形 2. 哈密顿形式 *§6.7 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量 分析力学形式具有普遍的意义. 一般广义坐标下研究力学系统的运动. 微观带电粒子的运动问题具有重要地位. 量子力学中用哈密顿量和拉格朗日量描述粒子. 这里从经典电动力学引入带电粒子在电磁场中的拉格朗日量和哈密顿量. 在经典力学中, 满足一定条件的动力学系统的运动方程可以表为拉格朗日方程 1. 拉格朗日形式 其中qi为广义坐标, 为广义速度, 拉格朗日量L是广义坐标和广义速度的函数 例如保守力场中运动的质点：L=T?V T：动能, V：势能. 对非保守系统, 只要找出函数 , 就可以用分析力学来研究该系统的运动. 电磁场中带电粒子的运动方程 此式在相对论情形仍然成立, 其中粒子的动量是 探讨找到一个拉格朗日量L使运动方程化为拉氏方程. 把电磁场用标量势和矢量势表示, 则 考察L的变换性质. 把上式乘以? =(1?v2/c2)?1/2得 四维速度矢量 洛伦兹不变量 洛伦兹不变量 在分析力学中, 拉氏量对时间的积分是作用量 固有时 洛伦兹不变量 洛伦兹不变量 自由粒子情形. 粒子的状态由速度确定, 协变量是四维速度Uμ, 构成一个不变量UμUμ=?c2. 因此, ?L是一个洛伦兹不变常量a, 得 当vc时, 上式应趋于非相对论的动能, 由此得a=?m0c2, 因而自由粒子的拉格朗日函数为 S的不变性确定带电粒子拉格朗日函数. 作用量的洛伦兹不变性在现代物理学中有重要意义, 这种不变性常常是找出一个物理系统的拉格朗日函数的重要依据. 静电场中, 当粒子速度vc时, 这项应等于粒子在静电场中的负位能?q?, 由此定出b=q. 根据协变性, 确定带电粒子在电磁场中运动的拉格朗日量为 当粒子在电磁场内运动时, 除了Uμ之外, L还依赖于四维势Aμ或电磁场张量F??. 由粒子的四维速度Uμ与电磁场的四维势Aμ可构成一个不变量UμAμ , 因而?L可以含有一项bUμAμ, b为一待定常数. 对于用拉氏量L描述的动力学系统, 广义动量Pi定义为 Pi也称为与广义坐标qi共轭的正则动量. 系统的哈密顿量为 H是广义坐标qi和广义动量Pi的函数 2. 哈密顿形式 用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式 电磁场中的带电粒子运动情形 正则动量 即 正则动量 机械动量 附加动量 但H应该用正则动量而不是用速度表出 右边第一项是粒子的运动能量W(包括静止能量), 因而H对应于Pμ+qAμ的第四分量. 引入四维正则动量 带电粒子的哈密顿量为 则哈密顿量与Pμ的第四分量 相联系 不难验证哈密顿方程相当于原运动方程. 当vc时, 以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形下相应的量 拉氏量当vc时变为(除去一个不重要的附加常量) 哈密顿量式变为 H和L 仍满足关系式 3．非相对论情形 * 第 二十二 讲 相对论的四维形式 相对论力学 内容概要 本讲覆盖教材第六章4, 6节内容, 请注意阅读教材 1、三维空间的正交变换 2、标量 张量 的空间变换 3、洛伦兹变换的四维形式 四维协变量 4、物理规律的协变性 5、能量—动量四维矢量 6、相对论动力学方程 * * * m0应是一个与惯性有关的标量, 可以定义在静止参考系中质点的惯性质量, 称静止质量. m0c2 是静止参考系中质点的能量, 是固有能量, 称静止能量. T是动能. 能量动量关系 由四维动量可以构成不变量： 粒子的能量与动量关系： 引入质量： * 相对论动力学方程 原理性方程, 非由推导或证明而得出, 必须由实验检验其正确性