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碰撞振动系统混沌运动自适应脉冲控制
碰撞振动系统混沌运动自适应脉冲控制 摘要:将自适应脉冲控制法应用到一类单自由度碰撞振动系统,即在碰撞后的瞬时对系统变量施加自适应脉冲信号,来抑制系统的混沌运动。数值模拟表明该方法可以有效地控制系统中的混沌行为,同时还表明该方法具有较强的鲁棒性。 关键词:自适应 脉冲控制 碰撞振动系统 混沌 鲁棒性 中图分类号:O322 1.前言 最近十年来,混沌控制的研究受到人们越来越多的关注。1990年Ott. Grebogi及Yorke三人首先从理论上提出控制混沌的方法,即参数微扰法,人们称之为OGY[1]法。OGY方法提出来之后,又涌现出很多新的混沌控制方法,如延迟反馈控制法[2],智能控制法[3],自适应控制法[4,5],脉冲控制法[6,7]等。 混沌行为广泛存在于碰撞振动系统,然而人们更希望系统呈现规则运动,因此研究控制碰撞振动系统的混沌运动对工程实际有一定的指导意义。本文针对工程实际中普遍存在的含间隙机械振动系统由于参数的改变,产生分岔和混沌,造成原稳定运行的系统产生异常振动时的故障消除方法展开研究。很多混沌控制方法都是针对光滑系统提出来的,对于非光滑系统的混沌控制方法还不多,本文将文[8]提出的自适应脉冲控制法应用于碰撞振动系统,即在发生碰撞后的瞬时引入自适应脉冲策略,通过测量碰撞后的瞬时速度,设计出可以产生合适脉冲强度的自适应控制器来实现对混沌运动的有效控制。文中通过对一个典型含间隙单自由度碰撞振动系统模型数值仿真,检验了该方法的有效性。同时通过数值计算随机噪声干扰下受控系统的Lyapunov指数谱,还发现该方法同时具有较强的抗干扰能力。利用该方法所设计的控制器结构简单,且响应速度快,因而更易于工程应用。 2.自适应脉冲控制原理和控制器的设计 设维离散混沌动力系统为: (1) 式中是该系统的一条轨道,为系统外部可调的控制参数。当采用自适应脉冲方法控制混沌系统(1)时,其控制算法可以作如下概述。 选择系统的某一参量作为脉冲微扰对象,从第次迭代开始,每隔次迭代,将加入到系统中去,即如下式表示: (2) 其中(3) 式(3)称为自适应控制器的表达式,系统变量为自适应控制器的输入变量,可以是变量的任意一个分量,是自适应速度,称为自适应控制器的阶。在实际运用时为了实施控制方便,通常取为低阶。 这样,适当地选择、自适应速度和自适应控制器的阶数,就可以实现对离散混沌映射各种周期运动状态的稳定控制。 3.碰撞振动系统的力学模型和振动微分方程 为了研究上述控制方法对含间隙碰撞振动系统混沌运动抑制的有效性,选如图1所示模型为研究对象。 图1 系统模型 图1所示系统模型由质量块、线性弹簧和线性阻尼组成,并受到简谐激振力的作用,质量块只作水平方向的运动,增大激振力的幅值,当质量块的位移等于间隙时,质量块将与约束碰撞,质量块改变速度方向后,又以新的初值运动,然后再次与约束碰撞,如此反复。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼,碰撞过程中的能量损失由碰撞恢复系数确定,碰撞持续时间略去不计。 在任意连续两次碰撞之间振动系统的运动微分方程为: (4) 根据碰撞定理和碰撞过程动量守恒定律,相应的碰撞过程的前后瞬时速度满足以下冲击方程: (5) 方程(4)和(5)中“?”表示对无量纲时间求导数,和分别表示质量块与约束碰撞前后的瞬时速度,其中无量纲量为: 根据微分方程的相关理论,方程(4)的解可表示如下: (6) 式中: 和为由系统的初始条件所确定的积分常数,和为振幅常数。 取碰撞后瞬时的碰撞面为Poincaré截面: (7) 取图1所示系统参数,,,采用文[9]提供的方法计算系统的Lyapunov指数谱。图2给出了系统(4)的碰后无量纲瞬时速度随分岔参数范围内的局部分岔图以及Lyapunov指数谱图。从图2中可以看出当参数变化时,系统通过周期倍化通向混沌。 图2 局部分岔图与Lyapunov指数谱随参数变化规律图 4.数值模拟及结果分析 取系统参数,,,,从图2中可以发现此时系统进入混沌状态,其Lyapunov指数为 。在此选取系统(4)的变量作为脉冲微扰对象和自适应控制器的输入变量。按式(2)、(3)和(5)构造如下自适应脉冲控制算法: (8) (8)式表示在碰撞后瞬时对系统施加自适应脉冲控制。这样可以通过测量碰撞后瞬时的速度来设计控制器。 令自适应速度,自适应控制器的阶数,为了使控制过程明显,当碰撞次数时打开控制器。控制效果如图3所示,其中前500次碰撞作为暂态予于略去。从图3中可以看出受控系统被稳
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