第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的计算法 高等数学基本方法ppt.pptVIP

二. 实例分析 例1. 求 解: 原式 例2. 求 解: 原式 ( P145 例2(1) ) 例3. 求 解: 方法1. 原式 = 方法2. 若 则 令 则 故 原式 = P148例5 例4. 求 解: 原式 令 说明: 若 例如 , 则 例5. 求 解: 令 比较同类项系数 , 故 ∴ 原式 说明: 此技巧也适于形为 的积分. 令 例6. 求 解: 令 则 原式 = 第五讲 积分学的概念、性质 和 不定积分的计算法 3-1 不定积分和定积分的概念与性质 一. 方法指导 积分学 不定积分 定 积 分 原函数的全体 原函数的增量 1. 原函数与不定积分的概念及性质 (P120 ,1 ) 若 则F(x) 在I 上连续, 且 求积分 求导数 若 在区间 I 上连续, 则 一定存在原函 数 但不一定能用初等 函数形式表示. 例如 : 它们的原函数在某区间上都存在 , 但都不是初等函数 , 在定义区间内 初等函数 初等函数 因此不能用积分法求出来。 2. 定积分概念及性质的主要应用 (1) 利用定积分的定义反求“ 乘积和 ”的极限 ; (2) 利用定积分定义推出近似计算公式 设 f (x)在[a ,b]上定积分存在 , 将[a , b]进行 n 等分 令 则有 (左矩形公式) (右矩形公式) (左矩形公式) (右矩形公式) (梯形公式) 应用: (1) 求含有积分号的极限时,用洛必塔法则 去掉积分号. (2) 通过求导将含积分号的积分方程转化 为微分方程 . 5. 推广的积分中值定理 (积分第二中值定理) 设 在 上可积且不变号, 则存在 使 ( P135,2) (同济 P270 题14 ) 证明思路: 想到用 介值定理 证明: 设 M , m 分别为 在 上的最大值 与最小值 , 不妨设 若 则 故对任意 结论都正确 ; 若 由连续函数介值定理可知, 存在 使 , 故定理成立 . 则 则 6. 反常积分 常义积分的极限 例如, 当 为瑕点（奇点）时， 若 若 二. 实例分析 例1. 已知 试确定常数 A , B , K . ( P126 例2 ) 解: 等式两边同对 x 求导, 得 比较同类项系数 , 得 说明: 类似可解 P199 题3 . 例2. 设 求 解: 例3. 求 解: 设 (P124 例1) 则 因 连续 , 得 记作 得 利用 例4. 设 解: 是 的一个原函数 , 若 x 0 时有 试求 解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和： 已知 利用夹逼准则可知 ( P480(8) ; 考研98 ) 例5 求 例6. 求 解: 令 原式 P29 例9 例7. 设 且 f (x)≥ 0 , 证明在[ a , b ]上 证: 用反证法. 假设存在 无妨设 为内点 , 由 f (x) 的连续性可知 , 存在邻域 在其上 则 与题设矛盾 ! 所以假设不真 . (“高数”上, P236 题12(1)) 推论: 设 且 f (x)≥ 0 , 而 则 (反证法) 例8. 设 且 f (x)≥ ? 0 , 证明 证: 有已知条件可知 在[0 , 1]上可积 , 故有 是凸函数 , (P127 例4) 思考: 例9. 求 ( P129 例6(2) ) 解:因为 时, 所以 利用夹逼准则得 说明: 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 作法对吗 ? 原式 = 另法: 利用积分第二中值定理 原式 = 例10. 求 解: 方法1. 由积分中值定理知, 存在 使 方法2. 对 原式 例11. 设 试证: (2) 当 时, 证: (1) 当0≤ x ≤1 时, 因此 , 当0≤ x ≤1 时, 两边在 [ 0 , 1] 上积分, 得 例11. 设 试证: (2) 当 时, (2) 当 时, 故 例12. 求 (P131 例8(2)) 解: 是以 ? 为周期的周期函数 , 因此对 任意非负整数 n , 都有 (令 ) 存在 n , 使 故 即 例12. 求 (P131 例8(2)) 从而 由夹逼准则得 例13. 设 且 求 并讨论它在 x = 0 处的 连续性 . 解: 由题设可知 令 得 型 例14. 设 且 求 并讨论它在 x = 0 处的 连续性 . 故 在 x = 0 处的连续 . 例15. 求多项式 f (x) 使它满足方程 解: 令 则 代入原式得 两边对 x 求导, 去掉积分号 由此可知 f (x) 应为二次多项式 ,