第二节 同角三角函数的基本的 关系与诱导公式 2012高考总复 精品课件+练习（人教版）第五单元.pptVIP

解　 规律总结　事实上，在上述题目中，主要使用了sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα之间的关系．弄清上述三个式子的关系，可以帮助解决许多类似的求值问题． 变式训练4 已知sinβ＋cosβ＝ ，且0＜β＜π. (1)求sinβcosβ和sinβ－cosβ的值； (2)求sinβ，cosβ，tanβ的值． 【解析】　(1)由sinβ＋cosβ＝ 可得： sin2β＋2sinβcosβ＋cos2β＝1＋2sinβcosβ＝ ， 于是，sinβcosβ＝－ ， (sinβ－cosβ)2＝1－2sinβcosβ＝ . ∵ sinβcosβ＜0且0＜β＜π， ∴sinβ＞0，cosβ＜0， ∴sinβ－cosβ＝ . (2)由(1)可得 解得 ∴tanβ＝ . 1．关于角为 k· ±α(k∈Z )形式的诱导公式 诱导公式一～六可以统一概括为k· ±α(k∈Z)的形式，其记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． (1)当k为偶数时，公式的记忆口诀“函数名不变，符号看象限”．含义是：α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号(α看成锐角，只是记忆符号时方便，实际上α是任意角)．此时诱导公式角的形式亦可记为k·π±α(k∈Z)． (2)当k为奇数时，公式的记忆口诀是“函数名称变，符号看象限”．此时角k· ±α(k∈Z)的正弦(余弦)函数值，分别等于角α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．函数名称发生改变，只是正弦、余弦的转换. 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 (1)已知sinα＝ ，并且α是第二象限角，求cosα，tanα. (2)已知cosα＝－ ，求sinα，tanα. 求三角函数式的值 解　(1)∵sin2α＋cos2α＝1， ∴cos2α＝1－sin2α＝1－ . 又∵α是第二象限角，∴cosα＜0，即有cosα＝ ， 从而 . 分析　(1)已知角α在第二象限，直接利用平方关系求余弦，再求正切． (2)中角α所在的象限有两种情况，需要分别求解. (2) 规律总结　已知一个角的某一个三角函数值，求其他三角函数值时要用到平方关系．如果所给角的象限已知，则直接开平方并进行取舍；如果所给角的象限不定，则需要进行分类讨论，分别取舍. 化简三角函数式 化简： 分析　 利用诱导公式和同角三角函数关系式，对所给式子进行逐一化简，从而达到化简整个三角函数式的目的． 解 原式= 规律总结　 化简是一种不指明答案形式的恒等变形，三角函数式化为最简形式的标准是相对的，一般是指函数种类要最少，项数要最少，函数次数尽量低，能求出数值的要求出数值，尽量使分母不含三角形式和根式等． 变式训练2 化简下列各式： 【解析】　(1)原式＝ ； (2)①当n＝2k(k∈Z)时， 原式＝ ②当n＝2k＋1(k∈Z)时， 原式＝ 三角恒等式的证明 求证： 分析　有多种办法．可以把左边变形，化为切的形式，等于右边；也可以从右边开始变形，切化弦，化为左边的形式；还可以两边都变形，变为弦的形式，两边相等． 规律总结　证明简单的三角恒等式，一般有三种方法，即由繁的一边证到简单的一边；证明左、右两边等于同一式子；证明与原恒等式等价的式子，从而推出原式成立．证明三角函数式时，常用的变形策略有： (1)“1”的代换．为了解题的需要，有时可以将1用“sin2α＋cos2α”代替． (2)切化弦．利用商数关系把正切化为正弦和余弦函数． (3)整体代替．将计算式适当变形，使条件可以整体代入；或将条件适当变形，找出与算式之间的关系． 　求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2. 证明　右边＝(1－sinα＋cosα)2＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝左边，所以等式成立． 变式训练3 分析　把已知三角函数等式两边平方，求得sinα·cosα的值，再求sinα＋cosα的值，代入化简后的待求三角函数式中，即可得解． (12分)已知0＜α＜ ，若cosα－sinα＝ － ，试求