第二章 基本的 数学方法 微电子器件及工艺CAD（半导体器件模拟课件）.pptVIP

第二章 基本数学方法;§2-1 微分方程的有限差分解法;微分方程的有限差分解法; 微分方程的数值解法有许多种，有限差分法是微分方程数值解法的一种，是半导体器件数值分析中最常用的方法。后面的章节中，我们还将介绍另一种应用更普遍的离散数值分析法-----有限元法。 ;2.1.2 有限差分法;3、 一阶导数的中心有限差分近似;4、 二阶导数的有限差分近似;微分方程的有限差分解法;2.1.2.2 微分方程的有限差分法求解; 常微分方程的边值问题又可以分为下列三种类型。设有二阶常微分方程y(x)，定义区间为[a,b]。 ;举例：二阶常微分方程;在各网格点上微分方程可写为：;在n-1个内网格点上，有差分方程;代入边界条件;写成矩阵形式;如果边界条件为;2;1;0;8563;0; 第二边界条件下，向后差分和中心差分于精确解的比较。;§2-2 非线性微分方程组的求解;非线性微分方程组的求解;非线性方程组;迭代;举例;非线性微分方程组的求解; 牛顿迭代法对初值的要求严格，如果初值与准确解相差较大，则牛顿迭代法发散，这是牛顿迭代法的不足。;§2-3 线性代数方程组的求解;线性代数方程组的求解;高斯消去法 线性代数方程组 A X = B 其中;高斯消去法 线性代数方程组 A X = B;高斯消去法;高斯消去法;高斯消去法;高斯消去法;高斯消去法;高斯消去法;高斯消去法;2.LU分解法 线性代数方程组A X = B A分解为上三角阵U和下三角阵L，即A=LU。;2.LU分解法;2.LU分解法;2.LU分解法;2.LU分解法;2.LU分解法; 3.迭代法 直接法一般工作量较大，本节介绍迭代法，将AX=B系数矩阵A分为严格的上三角矩阵U和下三角矩阵L，及对角矩阵D，即 ; 则线性方程组AX=B可以改写为 (D+L+U)X=B 即 DX=-(L+U)X+B; 为了更好地理解Jacobi迭代公式的得来，我们从另外一个角度进行推导。; 给出x1, x2, x3的初值，并记做 于是可由方程求得x1, x2, x3的第一次迭代值 。; 3.迭代法; 3.迭代法; 容易看出，在Jacobi迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量 。实际上，如果Jacobi迭代式收敛的，必威体育精装版算出的分量一般都比前一次的分量更接近精确解，因此，若在求 时，利用刚刚计算出的新分量 ，对Jacobi迭代加以修改，可以加快计算速度。修改后的迭代公式为;4. 追赶法 如果线性方程组的系数是三对角线的，则高斯消去法可以简化。;第二个方程减去a2/b1乘第一个方程，消去第二个方程中的x1，经过i-1后，方程变为;方程的最后形式为;线性代数方程组的求解;作业 1. 说明Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的区别。 2. 设矩阵A=LU，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，求L，U。