第一节 二重积分的概念和 与性质(同济少学时第三版备课型).pptVIP

重积分对应于多元函数的某种和式极限问题，它是 定积分概念的推广。 重积分的方法是将多元函数局部线性化，从而可将 某些变量问题转化为常量来处理。 二重积分是定义于平面区域上的一类和式 的极限，其来源可分为几何和物理两个方面。 二重积分的几何来源是求立体的体积问题；其 物理来源是沿平面区域连续分布的质点系所对 应的各类物理量的计算问题。 二重积分的方法是将二元函数局部常量 化，从而可使某些变量问题转化为常量处理。 (1) 立体的体积计算问题 立体体积计算也是数学研究的一个基本问题。直到 微积分建立之前，人们只能计算一些最简单的由平面围 成的立体体积，如长方体、六面体、四面体，棱柱体等, 而锥体和台体等只是这些计算的延伸。 球体体积算法作为曲面围成的立 体体积只是一种特殊方法，并不适用 于求一般由曲面围成的立体的体积。 体积的古典概念：定义单位立方体体积为1, 考察立体中能放入多少个单位立方体。 古典的立体体积计算所采用的都是基于立体的特殊 性而建立的特殊方法，并不具有一般性。 由于一般的空间立体可看成是由封闭曲面围成的空 间区域。因此，作为数学方法的讨论，自然应考虑寻求 计算由封闭曲面围成的立体体积计算的一般方法。 为建立计算体积的一般方法首先需考虑解决两个最 基本的问题： 什么是立体体积？即如何定义体积？ 如何考虑由曲面围成的立体体积计算？ (3) 曲顶柱体体积的计算 考虑定义在区域 D 上的二元单值函数 z = f( x ,y ), 所对应的曲顶柱体体积 V: 0 ? z ? f( x ,y ),( x ,y )?D . 平顶柱体体积是易于求得的， 而曲顶柱体体积则不宜直接计算。 “曲和平”是相对的，在大的范 围内呈现出凹凸不平的曲面在较小的 范围内可看成是平的。 因此考虑对曲顶柱体进行适当分 割，使其转化为平顶柱体以计算体积。 分割 —— 化整为零 用曲线网分割区域 D，使其化为一系列的小区域： D：? ? 1,? ? 2 ,… ,? ? i ,… ,? ? n . 相应地，曲顶柱体被分割成一系列的小曲顶柱体： V：?V1,?V 2 ,… ,?V i ,… ,?V n . 考虑分割之下的任一小曲顶柱体体积的计算： 任取( ? i ,? i )? ? ? i ,( 1 ? i ? n )， 则相应的小曲顶柱体体积可近似地表为： ?V i ? f( ? i ,? i )?? i ,( 1 ? i ? n ). 取点 —— 求局部近似值 作和式 —— 求整体近似值 将各小曲顶柱体的体积近似值相加，便得原曲顶柱 体的体积近似值： 若将区域 D 分割得越细致，和式作为曲顶柱体积近 似值就越精确，但不论怎样分割，求得的终究只是曲顶 柱体体积的具有某种精确度的近似值而非准确值。为求 得准确值只有让分割无限变细，即让分割之下的各小区 域的直径 ? i 趋于零。记： 则当 ? ? 0 时有 取极限 —— 求整体精确值 以上结果实际也给出了立体体积的一般定义及计 算法，即立体体积实际应是一个和式的极限，体积的 计算就是求和式的极限。初等数学中导出的各类体积 计算公式只是这种和式极限的特殊情形。 例如，当 z = f( x ,y )= h 时，曲顶柱体便化为平顶 柱体，其相应的体积为 此结果正是初等数学建立柱体体积计算公式。 (3) 平面薄片的质量问题 有一薄板，位于 xOy 平面上的区域 D，薄板上各点 的面密度为二元连续函数 ?( x ,y )，求薄板的质量。 对于密度非均匀分布的薄片， 不能按公式 质量 = 面密度×面积， 求其面积。 均匀分布和非均匀分布是相对的， 在大的范围内密度呈现非均匀分布的 物体，在较小的范围内可看成是密度 均匀分布的。因此考虑对薄板进行适 当的分割，使其可近似地看成是密度为均匀分布。 ( ? i ,? i ) ? m i = ?( ? i ,? i )?? i 分割 —— 化整为零 用曲线网分割区域 D，使其化为一系列的小区域： D：? ? 1,? ? 2 ,… ,? ? i ,… ,? ? n . 相应地，薄片质量转化为一系列的小薄片的质量： M：? m 1,? m 2 ,… ,? m i ,… ,? m n . 考虑分割之下的任一小薄片质量的计算： 任取( ? i ,? i