2018版高中数学苏教版选修1-2学案：2．2.2　间接证明.docxVIP

2．2.2　间接证明学习目标　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．知识点　间接证明著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”思考　王戎的论述运用了什么论证方法？　　　　1．间接证明(1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．(2)常用方法：反证法．2．反证法(1)基本过程：反证法证明时，要从____________开始，经过__________，导致__________，从而达到____________(即肯定原命题)．(2)证题步骤：反设——假设________________不成立，即假定原结论的反面为真．归谬——从________和____________出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；存真——由____________，断定________不真，从而肯定原结论成立．类型一　用反证法证明“否(肯)定式”命题例1　已知函数f(x)＝ax＋(a1)．用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．　　反思与感悟　(1)对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在跟踪训练1　已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．　　　　类型二　用反证法证明“唯一性”命题例2　求证：方程2x＝3有且只有一个根．　　　　　反思与感悟　(1)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．(2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．跟踪训练2　已知a与b是异面直线，求证：过直线a且平行于直线b的平面只有一个．　　　　　类型三　用反证法证明“至多、至少”问题例3　已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.　　　反思与感悟　(1)用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．(2)用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q跟踪训练3　设a、b、c都是小于1的正数，求证(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a三个数不可能同时大于.　　1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设__________________．2．设x、y、z＞0，则三数x＋，y＋，z＋的值________．①都大于2；②都不小于2；③至少有一个不小于2；④至少有一个不大于2.3．用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为________________________．4．证明：方程2x＝3有且仅有一个实根．　　1．反证法证明的3个步骤：(1) 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2) 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3) 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．2．反证法与逆否命题区别：反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．答案精析问题导学知识点思考　实质运用反证法的思想．2．(1)否定结论　正确推理　逻辑矛盾　新的否定(2)命题的结论　反设　已知条件　矛盾结果　反设题型探究例1　证明　假设x0为方程f(x)＝0的负数根，则有ax0＋＝0，即ax0＝＝＝－1＋，显然x0≠－1.(1)当－1＜x0